Encore un !
Olympiades mathématiques, énigmes et défis
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nekros
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par nekros » 06 Aoû 2006, 04:29
Salut,
Soient
,
,
et
quatre nombres réels vérifiant
et
.
Montrer que
Bonne réflexion.
Thomas G :zen:
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musichien
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par musichien » 07 Aoû 2006, 11:54
(x+y+z+t)²= (x²+y²+z²+t²) + 2(xy +yz+zt +tx) + 2(xz + yt) donc (xy +yz+zt +tx) + (xz + yt) = -1/2 donc xy +yz+zt +tx= - (1/2 +xz +yt), et on doit prouver que c'est inférieur à 0, donc xz +yt supérieur à -1/2 , et que c'est supérieur à -1, donc xz+yt inférieur à 1/2
. Déjà, on a x²+z² supérieur à 2xz et y²+t² supérieur à 2yt donc xz+yt inférieur à 1/2.
De plus, on a x²+z² supérieur à -2xz (on prend l'inégalité avec -x au lieu de x), et y²+t² supérieur à -2yt, donc -2(xz+yt) inférieur à 1 et xz+yt supérieur à -1/2, ce qui conclut.
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hild
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par hild » 07 Aoû 2006, 12:00
Je crois que je l'ai.
(x+y+z+t)^2=1+2(xy+xz+xt+yz+yt+zt)=0 (en utilisant les deux égalités données)
D'où xy+yz+zt+tx=-1/2-(xz+yt) (1)
Utilisant l'inégalité de la moyenne : -(x^2+z^2)/2 <= xz <= (x^2+y^2)/2, et la même chose pour yt, et la deuxième égalité (celle avec les carrés) on trouve : -1/2 <= xz+yt <= 1/2
Ce qui donne dans 1 exactement ce que l'on veut.
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hild
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par hild » 07 Aoû 2006, 12:02
Je rêve : ça fait 24 heures que tout le monde sèche là dessus et je me fais piquer la place pour 6 minutes... :lol3:
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musichien
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par musichien » 07 Aoû 2006, 12:13
bin ouais, le temps que je lise l'énoncé et que je le résolve ^^ (nan je plaisante^^, ça m'amuse de jouer au prétentieux :marteau: ).
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hild
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par hild » 09 Aoû 2006, 17:07
Bien vu, aviateur pilote, c'est très joli.
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