Ellipse de Steiner

par **Zweig** » 13 Jan 2011, 17:09

Salut,

Un peu de géométrie.

Soit

un polynôme de degré

de racines complexes

,

et

. On suppose que les points

,

et

ne sont pas alignés. Montrer que dans ces conditions, il existe une ellipse inscrite dans le triangle

dont les affixes de ses foyers sont les racines de

.

(On peut aussi montrer que parmi toutes les ellipses inscrites dans ABC, cette ellipse est d'aire maximale).

par **benekire2** » 14 Jan 2011, 20:02

Salut !

Ce problème m'amuse, j'ai envie de chercher :) Pour l'instrant j'ai envie de prendre des cas particuliers équilatéraux bien placés .. (racines cubiques de l'unité) et de trouver des arguments pour étirer ce triangle ... qu'en pense tu ?

par **Ben314** » 14 Jan 2011, 22:05

Salut,
Si tu veut des "étapes", c'est (encore) un problème de CAPES récent...

par **Zweig** » 14 Jan 2011, 22:06

Je n'ai pas résolu l'exercice au moment où je l'ai posté (ni maintenant d'ailleurs), donc je ne saurai te dire ... En tout cas après recherches ... la démo est vachement compliquée (y a pas mal de lemmes intermédiaires à démontrer), voir théorème de Marden.

par **Ben314** » 14 Jan 2011, 22:20

CAPES 1990 (vision plutôt géométrique)
CAPES 2009 (plus algébrique et donne différentes méthodes de localisations des racines d'un polynôme)

par **benekire2** » 15 Jan 2011, 10:47

Pour l'instant gauss lucas me permet de localiser un peu mes racines mais rien de bien gras.
Je vais continuer de chercher et si je n'avance pas je chercherais une démo.

Ellipse de Steiner

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