écriture décimale des puissances de 5

par **emdro** » 13 Juil 2007, 17:23

Bonjour,

Démontrer qu'il existe une infinité de nombres entiers n tels qu'on puisse trouver 2007 chiffres 0 consécutifs dans l'écriture décimale de

.

Ce problème m'a laissé perplexe un moment...

par **Imod** » 13 Juil 2007, 19:14

emdro a écrit:Ce problème m'a laissé perplexe un moment...

Ah bon :zen:

Imod

par **BiZi** » 13 Juil 2007, 20:29

emdro a écrit:Ce problème m'a laissé perplexe un moment...

Pareil, sauf que ca continue pour moi :zen:

par **cesar** » 14 Juil 2007, 08:48

normalement toutes les puissances de 5 se terminent par 5, si l'on fait le calcul avec un tableur, lorsque la puissance atteint l'ordre de 22 ou 23, des zeros apparaissent en fin du chiffre. Cela n'est dû qu'à l'erreur de calcul de la machine. Mais cela ne prouve pas qu'il n'existe pas des puissances de 5 avec un tas de décimales nulles....ou l'inverse

par **emdro** » 14 Juil 2007, 10:50

@César,

On ne demande pas que les zéros soient situés à la fin de l'écriture décimale. Cela aurait été vite réglé...

D'ailleurs, à propos de tes exposants, si

a 2007 chiffres nuls consécutifs, il faut qu'il ait au moins 2008 chiffres! Dans ce cas,

. Donc

. Ainsi n>2872. Ce qui règle définitivement l'utilisation de logiciels tels qu'Excel pour fournir une quelconque aide...

par **aviateurpilot** » 14 Juil 2007, 12:15

emdro a écrit:Bonjour,

Démontrer qu'il existe une infinité de nombres entiers n tels qu'on puisse trouver 2007 chiffres 0 consécutifs dans l'écriture décimale de .

Ce problème m'a laissé perplexe un moment...

idit: j'ai utlisé une resultat ou il faut que

:marteau:

par **emdro** » 14 Juil 2007, 12:44

Je doute quand même que cette puissance de 5 se termine par un 1...
Mais tu es tout proche!

par **aviateurpilot** » 14 Juil 2007, 13:10

emdro a écrit:Je doute quand même que cette puissance de 5 se termine par un 1...
Mais tu es tout proche!

hhhhhh, :marteau:
j'ai oublié que

dsl,

voila donc la solution
on a

donc

d'ou

contient

chiffres 0 consicutives.
or on a la suite (H_n) est strictement croissante.
d'ou

et c'est terminer.

par **emdro** » 14 Juil 2007, 13:39

OK, là j'achète!

NB ce n'était pas très gentil pour nous de dire que c'est très facile! Mais on ne t'en veut pas. Chacun son niveau... :++:

par **BiZi** » 14 Juil 2007, 15:56

aviateurpilot a écrit:hhhhhh, :marteau:
j'ai oublié que dsl,

voila donc la solution
on a
donc
d'ou
d'ou contient chiffres 0 consicutives.
or on a la suite (H_n) est strictement croissante.
d'ou
et c'est terminer.

Y'a-t-il un autre moyen que celui-là? Parce que c'est facile effectivement si on utilise la fonction indicatrice d'Euler mais bon je l'ai pas vu en cours moi juste en exo :ptdr:

par **emdro** » 14 Juil 2007, 16:12

@BiZi,

Le petit théorème de Fermat suffit: tu peux partir de

et faire le même raisonnement.

par **BiZi** » 14 Juil 2007, 16:18

emdro a écrit:@BiZi,

Le petit théorème de Fermat suffit: tu peux partir de

et faire le même raisonnement.

Mais... Le petit théorème de Fermat, c'est pour les nombres premiers seulement!

par **emdro** » 14 Juil 2007, 16:34

@BiZi,
Oui, tu as raison. Flagrant délit!
Pourtant je pense qu'on a quand même

.

Je te laisse voir pourquoi. (essaie la récurrence...)

par **aviateurpilot** » 14 Juil 2007, 16:40

par **BiZi** » 14 Juil 2007, 17:00

aviateurpilot a écrit:

Alors là je suis ok! Bien joué, aviateur!

par **emdro** » 14 Juil 2007, 17:01

Par récurrence, c'est immédiat aussi. Sauf si je me trompe encore...

par **cesar** » 14 Juil 2007, 17:50

emdro a écrit:@César,

On ne demande pas que les zéros soient situés à la fin de l'écriture décimale. Cela aurait été vite réglé...

...

je l'avais compris, si tu as bien lu mon post...

par **aviateurpilot** » 14 Juil 2007, 17:52

emdro a écrit:Par récurrence, c'est immédiat aussi. Sauf si je me trompe encore...

par **emdro** » 14 Juil 2007, 17:54

cesar a écrit:je l'avais compris, si tu as bien lu mon post...

J'avais bien lu, mais la suite m'avait temporairement inquété...

par **cesar** » 14 Juil 2007, 22:45

error ne pas tenir compte

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