4 doubles d’affilé au monopoly!!!

[GaBuZoMeu]

Tu as testé quoi, qui sont n et k, que représente 0,31 ?
Pourrais-tu énoncer les choses plus clairement, j'ai du mal à suivre. Merci !

[lyceen95]

Dans le raisonnement de FE, il y a un truc bizarre :
On a une somme. Pas très clair de savoir ce que représente cette somme, mais ce n'est pas grave. Pour une raison totalement inconnue, on ne garde que les termes avec x pair. Donc en gros on divise cette somme par 2. ( la raison totalement inconnue, je la devine parfaitement...)
Et à l'arrivée, comme par hasard, FE trouve une probabilité qui est en gros 2 fois plus faible que la bonne valeur : 45% au lieu de 88.7%.

C'est clair que le 45% est faux.

Pour s'en assurer, on peut garder le raisonnement de FE et calculer les 3 probabilités suivantes :
- Quelle est la proba que la somme soit supérieure à -57 ? (0.45 a priori)
- Quelle est la proba que la somme soit égale à -57 ? (en reprenant le même raisonnement que pour le calcul précédent)
- Quelle est la proba que la somme soit inférieure à -57 ? (en reprenant le même raisonnement que pour le calcul précédent)
Est-ce que la somme des 3 probabilités en question donne 1, ou donne un nombre proche de 0.5 ?

[GaBuZoMeu]

Puisque certains aiment bien les simulations :

Code: Tout sélectionner

from random import *
from statistics import *

def essai(nb) :
    N=0
    for k in range(nb) :
        S=0
        for i in range(5000) :
            S+=randrange(2)
            if 2*S-i < -110 :
                N+=1
                break
    return N

(c'est du Python 3). Puis :

Code: Tout sélectionner

L=[essai(100) for i in range(100)]
print(mean(L))
print(stdev(L))

donne :
10.58
2.701215588687

En moyenne, 10,58% de loupés. Ce n'est pas très loin des 88,7% de réussite donnés par ce calcul (en SageMath, cette fois-ci) :

Code: Tout sélectionner

N=add(binomial(5000,k) for k in range(2445,2557))
(N/2^5000).n(12)

[fatal_error]

@gbzm

Tu as testé quoi, qui sont n et k, que représente 0,31 ?

n nombre de lancers, k le y de l'axe de symétrie. 0.31 la probabilité que l'arrivée soit dans [0; n[

la première erreur de mon poste de 06 Sep 2019 10:17 est que je somme pour y = 0 à N (pour les points d'arrivée) sauf que je devrais sommer pour y = k+1 à N.

concernant ton code, je reste perplexe, notamment pour
S+=randrange(2)
if 2*S-i < -110 :
je comprends pas pourquoi tu testes ta borne par rapport à 110
sauf erreur, à chaque itération, la quantité 2S-i est incrémentée de |1|, or, l'écart pile-face à chaque lancer est modifié de +2 ou -2 (donc je m'attends à voir la borne de -55 ou -56)

cf pourquoi je prends k = -57
voici mon mc.py:

Code: Tout sélectionner

import numpy as np
from functools import reduce


nbSim = 100
N = 5000
k = -57
def check(sim, k):
    n = len(sim)
    s = 0
    for x in sim:
        s += x
        if s <= k:
            return False
    return True

nbGood = 0
for bulk in range(0, 10):
    X = np.random.choice([-1,1],(nbSim,N))
    for sim in X:
        ok = check(sim, k)
        if ok:
            nbGood += 1

print('p ', nbGood/(nbSim*10))

def all_you_need_is_basic(sim):
    pil = 2606
    fac = 2394
    for x in sim:
        if x == 1:
            pil += 1
        else:
            fac += 1
        if pil <= fac+100:
            return False
    return True


X = np.random.choice([-1,1],(nbSim,N))
nbGood = 0
for bulk in range(0, 10):
    X = np.random.choice([-1,1],(nbSim,N))
    for sim in X:
        ok = check(sim, k)
        if ok:
            nbGood += 1

print('p_basic', nbGood/(nbSim*10))


output:
p 0.579
p_basic 0.575

edit: l'écart pile-face à chaque lancer est modifié de +2 ou -2. wtf my brain

[fatal_error]

et je corrige mon dénombrement:

donc S la somme des trajets valides arrivant en (5000,y) avec y dans [k+1, 5000] et k = -57

grossomodo par téléscopie, il faut sommer de -56 à +56
code (js):

Code: Tout sélectionner


function countAll({n,a}){
    var s = 0;
    function inline(n, k){

        if(k > n)return 0;
        var s = 1;
        var count = 0;
        for(var i = 0; i<k; ++i){
            s *= (n-i)/(i+1);
            while(s > 1e5){
                s/=2;
                count++;
            }
        }
        s /= Math.pow(2, n-count)
        return s;
    }

    var up = (a - 1)/2
    for(var y = 1; y<= up; ++y){
        s += 2*inline(n, n/2+y)
    }
    s += inline(n, n/2)
    console.log('p : ', s)
}
countAll({n:5000, a:57});
//0.5798130913083408


suite à mon edit concernant k, il suffit simplement de pas diviser k par deux...
donc prendre k == -114 (ou -112 si on veut être strictement au dessus)
et on trouve bien 0.8899798797355399

[GaBuZoMeu]

Bon, finalement ce n'était pas ton dernier prix. Ton nouveau prix de 0.89 est maintenant un peu exagéré. Peut-être parce que tu interprètes "superieur" par "supérieur ou égal" ? Je n'ai pas vérifié.

concernant ton code, je reste perplexe, notamment pour
S+=randrange(2)
if 2*S-i < -110 :
je comprends pas pourquoi tu testes ta borne par rapport à 110

Je t'explique : tu sais que python compte à partir de 0. À l'étape i de la boucle, on est au i+1-ème tirage. S est le nombre de piles, donc i+1-S est le nombre de faces. On a raté si la différence S - (i+1 -S) est inférieure ou égale à -112, parce qu'alors "Pile" ne sera plus en avance que d'au plus 100 points avec la 1e mi-temps.
Ècrivons :
S - (i+1-S) <= -112
2*S - i - 1 <= -112
2*S - i <= -111
2*S - i < -110
C'est bon ?

[fatal_error]

Uiui, il reste linegalité stricte mais cest plus une interprétation d'énoncé.

[lyceen95]

Plutôt que compter P-F, qui est alternativement pair ou impair, ce serait plus simple de simplement compter P (ou F). Ca revient strictement au même, mais ça évite cette alternance pair/impair.

Par exemple, la question
quelle est la probabilité que P-F soit strictement supérieur à 100 après 5000 tirages
devient :
quelle est la probabilité que P soit strictement supérieur à 2550 après 5000 tirages
C'est strictement la même question, et maintenant, on est dans un cadre tout à fait classique. Ca aurait probablement éviter cette erreur qui a donné ce 45%.

[GaBuZoMeu]

Que veux-tu, c'est la vie ! Au cours d'un match de championnat, l'avance du PSG sur l'équipe adverse est alternativement paire et impaire.

[fatal_error]

@lyceen95

Cette erreur de 45% a rien a voir avec la parité.
1) j'ai pas compté tous les y de k+1 a 0.
2) j'ai compté un "cart de deux à chaque lancer parce que dans ma tete, sur n lancers quand on transforme un face en pile ou augmente l'écart de 2 et j'ai betement fait l'amalgame d'où une borne a 57 et non 114.

Comme j'ai l'impression que tu fais une fixette sur pourquoi j'ai compté un terme sur deux dans la somme, c'est effectivement parce que à n=5000 on ne peut que tomber sur des y pairs mais c'est pas lié au problème du 45%.

Aussi, ton enoncé perd l'information que pour tout n, p doit être supérieur à face dune certaine quantité...
Mais de toute façon tu peux mettre l'énoncé le plus simple (à contraintes egales) si la personne fait la (fatale) boulette de confondre +1 et +2 pour un pile je crois que ca change pas grand chose

edit: ponctuation

[Sylviel]

Tiens, l'individu imaginaire a récidivé :
- je montre par simulation que, après 5 Piles consécutifs, on a toujours une chance sur deux d'avoir Pile, une chance sur 2 d'avoir face, et pas plus de chance d'avoir Face pour "rattraper un retard", il lit que je dis qu'il y a autant de PPPPP que de PPPPPP...
- J'explicite un argument de GBZM en disant que F-P ne peut être constante (car exactement un entre F et P augmente à chaque tirage, donc F-P(n) fait soit +1 soit -1), et comme il s'agit d'une suite d'entier elle ne peut converger. Il réponds "mais ça contredit la loi des grands nombre", qu'il n'a donc toujours pas comprise...
La loi des grand nombre dis F(n)/n -> 1/2, ou P(n)/n-> 1/2 ou [F-P(n)]/n -> 0... Bref il oublie que l'on parle de la moyenne et pas du nombre absolu. La moyenne bien sûre est rationelle, pas entière...
Bref le raisonnement logique n'a jamais été son fort mais ces derniers temps ça devient cataclysmique.