2^n divise 3^n-1

par **aviateurpilot** » 17 Juin 2006, 01:02

salut les amis
voila un exo pour vous

Trouver tous les entiers n strictement positifs pour lesquels

divise

merci d'avances pour vos réponces

par **aviateurpilot** » 19 Juin 2006, 16:37

j'ai trouvé que n dois etre pair

par **aviateurpilot** » 19 Juin 2006, 16:51

en fin j'ai trouvé la solution
je te laisse chercher mikou

par **Mikou** » 19 Juin 2006, 19:08

;) jai demontrer que la seule valeure de n impair verifiant cela est 1, n n'est donc pas forcement impair ! de plus il faut trouver un ensemble et tt les nb pairs ne son pas solution :happy3:
bref il ne me reste 'plus' que les cas avec n pair

par **BiZi** » 19 Juin 2006, 19:52

Bonjour,
C'est pareil pour moi... Après ca j'ai fait n=2p d'où 3^n -1=(3^p+1)(3^p-1) mais je ne trouve aucune condition particulière sur p, même avec les suites géométriques, la méthode que j'avais utilisée pour prouver que n était pair. Un indice par pitié! :mur:

par **Jacques Lavau** » 19 Juin 2006, 22:06

Déjà trois solutions : n = 1 ; 2 ; 4.
Pas trouvé de méthode générale.
0, 3, 5, 6 ne conviennent pas.

par **aviateurpilot** » 19 Juin 2006, 22:14

moi j'ai trouvé la solution mais je vai pas la posté, je vous laisse chercher

bizi a écrit: Un indice par pitié!

1er indice
pgcd(3^p+1,3^p-1)=2
si tu veus un autre indice dis le

par **Jacques Lavau** » 19 Juin 2006, 22:22

n supérieur à 1 implique que 3^n - 1 est divisible par 4. Preuve par le binôme :
3^n - 1 = (3-1)(3^n-2 + etc .. + 1)
et la symétrie du terme entre parenthèse, avec coefficient central toujours pair.

par **Mikou** » 20 Juin 2006, 08:44

Est tu sur de ta demo avionpilote ? La mienne montre bien que le seul n impair est 1, je vais traiter le cas n pair :happy3:

par **aviateurpilot** » 20 Juin 2006, 12:14

mikou a écrit:Est tu sur de ta demo aviateurpilot

oui, je t'ai dis l'autre fois que je ne me deconnecterais pas avant de trouver la solution
tu veus que je la poste ?

par **Mikou** » 20 Juin 2006, 12:23

non, mais tu dis avoir demontrer qu'il nexiste aucun entier impair verifiant lequation, or je t'ai di avoir demontrer qu'il en existe un seul a savoir 1.

par **yos** » 20 Juin 2006, 12:28

avec m impair.

.
On regarde alors la valuation 2-adique des facteurs. Elle vaut 1 le plus souvent.

par **Mikou** » 20 Juin 2006, 12:33

Et avec des outils de term s :lol4: ?

par **aviateurpilot** » 20 Juin 2006, 12:43

je suis en terminal
et j'ai trouvé une solution avec des outils de term s
je n'ai utiliser que le 1er indice que j'ai donné
et une différence de 2 quantités qui doit etre positive

par **yos** » 20 Juin 2006, 13:07

Qu'est-ce qui n'est pas un outil de terminale? La valuation p-adique? C'est une notion sous-jacente à la décomposition en facteurs premiers : cette décomposition est unique pour un entier donné n; l'exposant d'un premier p qui y figure s'appelle la valuation p-adique de n et se note

.

par **Mikou** » 20 Juin 2006, 13:09

d'accord, merci pour lexplication :happy3:

par **BiZi** » 20 Juin 2006, 13:33

Je crois que j'ai trouvé! :id: Merci pour l'indice ca m'a mis indirectement sur la voie! :++:

par **aviateurpilot** » 20 Juin 2006, 13:51

bizi a écrit:Merci pour l'indice ca m'a mis indirectement sur la voie

pas de koi

par **yos** » 21 Juin 2006, 20:13

Il me semble que la méthode que j'ai donnée plus haut est pas mal. Elle donne plus de chose :

.
Cependant je veux bien voir les autres méthodes.

par **BiZi** » 21 Juin 2006, 21:22

Euh yos tu pourrais pas stp expliciter un peu ta solution? Parce que je suis un peu paumé là...

2^n divise 3^n-1

2^n divise 3^n-1

Déjà trois solutions

n supérieur à 1

Qui est en ligne