Divisbilité

[yos]

Bonjour.
Voici un énoncé d'olympiade :
Trouver tous les couples (a,b) d'entiers > 0 tels que ab²+b+7 divise a²b+a+b.

[BiZi]

Bonjour,

Comme ab²+b+7 divise a²b+a+b on a PGCD (ab²+b+7,a²b+a+b)=ab²+b+7.


Comme a(ab²+b+7)-b(a²b+a+b)=7a-b², on en déduit avec Bézout que

PGCD (ab²+b+7,a²b+a+b) divise 7a-b² d'où ab²+b+7 divise 7a-b².


On voit bien que ab²+b+7 est plus grand (en valeur absolue) que 7a-b² pour des a,b assez grands.

Si 7a-b²>0:

Pour b>=3; il est clair que vabs(ab²+b+7)> vabs(7a-b²).

Pour b=1 et b=2, ca marche pas (c'est assez simple de le démontrer)

Si 7a-b²<0:

Alors pour a>=1, il est clair que vabs(ab²+b+7)> vabs(7a-b²).

Pour a=0, on entre pas dans l'hypothèse de départ 7a-b²>0.

La seule solution est donc que 7a-b²=0 (tout nombre en effet divise 0)

Avec cette relation, on tire bien le résultats de Rain'.

Sauf erreur, les seules solutions sont donc les couples (7k²;7k).

(vabs()=valeur absolue())

[yos]

C'est bien vu!

[yos]

Un petit up pour ce joli exercice d'olympiade et pour aviateurpilote qui veut des exos d'arithmétique.
Je me suis aperçu que la solution de bizi est incomplète.

[ThSQ]

Pour b=1 et b=2, ca marche pas

Mmmm, ça me paraît douteux là.

Si b=1, a+8 | a²+a+1 = (a-7)(a+8) + 57 et donc a+8|57
Après vérif (11,1) et (49,1) marche

Si b=2, 4a+9 | ... | (4a-7)(4a+9) + 79 et donc 4a+9 | 79, 79 est premier et y'a pas de soluces là.

[BiZi]

Un petit up pour ce joli exercice d'olympiade et pour aviateurpilote qui veut des exos d'arithmétique.
Je me suis aperçu que la solution de bizi est incomplète.

15 mois après... Je ne m'attendais pas à un coup pareil:ptdr: