Diophantine

[MMu]

Bonjour amis des maths,
Résoudre où sont des entiers .

[Ben314]

Salut,
Si l'équation donne sans solution vu que ne divise jamais .
Si l'équation donne avec comme solutions et
Sinon, partant d'une solution où , si on note la deuxième racine de alors donc et donc . De plus, on a
ce qui est vrai.
Donc en réitérant le procédé tant que , on fini par obtenir une solution où donc et ou .
Les solutions sont donc toutes avec et s'obtiennent en partant des solutions "primitives" et et en "remontant" le processus précédent (ce qui donne une récurrence linéaire double qui permet de paramétrer les solutions).

[catamat]

Bonjour
Je pense avoir compris le principe (même si j'ai eu un peu de mal....
En fait comme x et y jouent un rôle symétrique dans l'équation pour itérer, on remplace y par et x par la valeur précédente de y, comme on finit par avoir y=1 ce qui arrête le processus.
Par ex
En partant de x=206 et y=43 on obtient =9
A l'étape suivante y=9 et x= 43, on trouve =2
Puis y=2, x=9 on trouve =1
on obtient bien y=1 fin du processus.

Par contre il y a une chose que je n'ai pas comprise c'est pourquoi z est nécessairement égal à 5 ?
Merci Ben314 de m'expliquer cela.

[Ben314]

Par contre il y a une chose que je n'ai pas comprise c'est pourquoi z est nécessairement égal à 5 ?
Merci Ben314 de m'expliquer cela.

Lors du "processus", le reste le même (seul le couple est remplacé par ) et, à la fin, lorsque tu as , c'est forcément avec et .
Les solutions, c'est donc les paires avec (et ) où les sont tels que :

(qu'on peut expliciter en utilisant les racines du polynôme associé : )

[catamat]

Ok merci Ben314, c'est très clair