Difficile

[silverseyf]

Construire une fonction f : R → R telle que f ◦ f ◦ f = id et f(0) = 2009

[Ben314]

Salut,
Facile, on peut par exemple prendre définie par :


Et il n'y a pas de solution avec continue, vu qu'il n'existe pas de fonction continue de R->R telle que fofof=Id :
- Une telle fonction devrait être bijective (de réciproque fof) donc strictement monotone.
- Si elle était croissante alors on devrait avoir soit 0>f(0)>fof(0)>fofof(0), soit 0<f(0)<fof(0)<fofof(0) (en composant dans les deux cas la première inégalité par f) donc dans les deux cas fofof(0) différent de 0.
- Si elle était décroissante alors fofof serait décroissante dont différente de Id.

[silverseyf]

J n ai pas compris

[Elias]

Soit f la fonction de R dans R définie par :

f(0)=2009
f(1)=0
f(2009)=1

et pour tous les autres x différents de 0,1 ou 2009, f(x) = x


Alors cette fonction vérifie :

pour, f(f(f(x))) = f(f(x)) = f(x) = x

De plus, on a f(f(f(0))) = f(f(2009))= f(1)=0

Puis f(f(f(1))) = f(f(0)) = f(2009)=1

Et enfin f(f(f(2009))) = f(f(1)) = f(0)=2009

Donc pour TOUT x réel, f(f(f(x))) = x donc fofof = id

Et si ça te chante, tu peux remplacer le "1" par un autre nombre

[FLBP]

Hello,
Pour l'intervalle [0;2008] dans les naturels, tu as par exemple :
f(x) = (x + 2009) mod 6027
Cordialement.