Différents cubes

par **Imod** » 23 Nov 2009, 00:07

Heureux de voir revivre ce forum ( avec ou sans moi :we: )

Certain le savent , je suis de tempérament "un peu" coriace voire acharné . J'ai proposé il y a quelque temps de montrer qu'on ne pouvait pas paver un triangle équilatéral avec un nombre fini de triangles équilatéraux tous distincts . Par contre , on peut tout à fait paver un carré avec des carrés de tailles toutes différentes ( n'essayer pas , les solutions sont horribles ) .

Peut-on construire un cube avec des petits cubes de tailles toutes différentes ?

Amusez-vous bien :zen:

Imod

par **Ben314** » 23 Nov 2009, 17:45

Je suis COMPLETEMENT SEC !!!!
Une indic ?

par **Doraki** » 23 Nov 2009, 18:15

Je dirais non parceque si jamais c'était oui, ça serait trop compliqué de décrire la solution sur un forum.
(ce raisonnement n'est valable seulement si Imod connaît la réponse à la question).

par **Ben314** » 23 Nov 2009, 18:27

Je dirais aussi non, car il précise que c'est super compliqué pour les carrés et un 'pavage' du cube en sous cubes paverais en particulier ces faces (carrées) en sous carrés...

par **nodgim** » 23 Nov 2009, 20:19

Le plus petit cube peut il être seul et remplir les espaces de son environnement immédiat ? J'en doute.

par **Imod** » 24 Nov 2009, 01:13

C'est un forum de math ou de divination ?

Inutile de lire dans la marc de café : si ça se trouve c'est possible et je vous livre un lien de 50 pages qui prouve que c'est possible ( j'ai déjà du le faire :marteau: ) :ptdr: :ptdr: :ptdr:

Imod

par **nodgim** » 24 Nov 2009, 07:26

Oui, oui, c'est possible. C'était juste pour faire avancer le schmilblic.

par **Imod** » 24 Nov 2009, 13:13

J'essayais plutôt de détruire l'argument de Doraki ( juste par taquinerie car la réponse est bien sûr : non ! ) . L'idée est bien d'utiliser un petit cube mais pourquoi ce qui est possible avec un carré ne l'est plus avec un cube ?

Imod

par **Ben314** » 24 Nov 2009, 13:27

J'vois toujours pas (snif) : il est parfaitement possible d'accoler aux 6 faces d'un petit cube 6 cubes tous plus gros... (mais il n'y a qu'une seule méthode, c'est peu être la voie...)
Faut il raisonner sur le plus petit de ces 6 cubes...

par **ninjasam** » 24 Nov 2009, 14:24

Une face du cube (donc un carré) doit obligatoirement être une solution louche comme celle d'Imod. On remet les carrés en cube (ca fait déjà un facheux bordel). On se met au niveau d'un petit carré qui se trouve donc dans un grand trou de la largeur de se carré. Il faut remplir se trou par une forme ayant une face carré soit on doit réappliquer une solution louche pour faire cette face et ainsi de suite.
Conclusion on arrive à une infinité de carré/cube toujours plus petit.

C'est pas tres claire je sais mais je pense que c'est ça

par **Doraki** » 24 Nov 2009, 14:51

ninjasam, je pense que ton argument marche si dans toutes les solutions qu'on a avec un carré, il y a un petit carré qui est entouré par des carrés de taille au moins le double du petit carré.

*pas sur du tout*

par **Ben314** » 24 Nov 2009, 15:14

Euhhh, j'vois pas pourquoi il faut le double...

Si, je crois que je vois....

(depuis le début j'y vois rien sur ce casse tête...)

par **nodgim** » 24 Nov 2009, 17:37

Le plus petit cube d'une face visible du grand cube laisse un creux coté intérieur. Pour le remplir, il faut des cubes plus petits. Donc on aura parmi eux un plus petit cube. Et on recommence le raisonnement ad infinitum.
C'est ça ?

par **Imod** » 24 Nov 2009, 17:59

Je ne comprends pas trop comment tu "recommences"

Le petit cube laisse un creux et alors :doh:

Imod

par **ninjasam** » 24 Nov 2009, 19:12

Pas besoin de l'histoire de double
J'essai de recommencer mon explication, Dites moi là où vous décrochez

Si solution existe ca signifie que n'importe qu'elle face carrée du cube est découpé en carré avec une solution louche genre celle d'IMOD. On prend par exemple la face du bas

Soit le plus petit carré sur la face du bas. Il est entouré par des plus grand carrés.

Ces carrés correspondent à des cubes. Le plus petit cube est donc dans un trou dont la base est ce plus carré et la hauteur supérrieur à celle de ce plus petit carré.

Le volume (qui a pour base le petit carré) situé au dessus du petit cube et allant jusqu'à la hauteur du plus petit cube voisin doit être comblé.

Ce volume ne peut être comblé par un unique cube car il aurait la taille de notre petit cube. On est donc obligé de le décomposer et notamment la face qui touche notre petit cube.

Cette face etant carré, le seule moyen de la décomposer est de prendre une solution louche comme celle d'IMOD

Selon le même raisonnement, on va creer alors un autre trou encore plus petit qu'il faudra combler de la même façon et il y aura un infinité de cube toujours plus petit.

par **Patastronch** » 24 Nov 2009, 19:14

Imod a écrit:Le petit cube laisse un creux et alors :doh:

Ben ce creux contient un cube a remplir avec des cubes de tailles toutes différentes :we: Une face de ce cube creux est recouvert par un ensemble de carre, le plus petit correspond a un cube (qui est plus petit que tous les cubes jamais rencontré pour l'instant) qui va créer une creux qui contient au moins un cube creux a remplis. Et on recommence ad eternam. Donc il n'y a pas de plus petit cube donc l'ensemble de cube pour "remplir" le cube d'origine n'est pas fini.

Enfin je crois que c'est ce qu'il a voulu dire.

par **ninjasam** » 24 Nov 2009, 19:22

Euh en fait il y a une faille dans mon raisonnement qui est
"si le plus petit cube est sur un bord."
Heureusement c'est pas possible car on aurait le même genre de problème en 2D, on serait obliger de faire des cubes toujours plus petit.

par **Ben314** » 24 Nov 2009, 19:24

Oui, sauf que l'objection de doraki me parait pertinente :
1ére étape avec le trou et tout : O.K.
2éme étape, si le plus petit carré de "la face à remplir" est dans un coin
alors, sur deux de ces cotés, il n'est pas bordé par de "nouveaux cubes" mais par deux cubes "de la première étape".
Si ( la longueurs du petit cube de l'étape 1 + la longueurs du petit cube de l'étape 2 >= la longueur du coté d'un des cubes qui bordent le petit de l'étape 1) alors derrière le petit cube de l'étape 2, il n'y a pas de "trou"
??? pour l'étape 3

Rajout : j'ai tapé le post avant de voir le tien, mais je ne vois pas le "coté 2D" qui fait que ca marche quand même. Pour moi, le P.B. apparait quand avec le Premier petit cube au milieu et le second au bord....

2em Rajout : Ca pourait aussi m... à l'étape 3 ou 4... si les petits cubes sont tous sur le même bord (ou dans un coin...)
On pourait montrer qu'il n'y a pas de solution au "problème du carré" avec le plus petit carré sur un bord, mais, j'ai l'impression que c'est un peu tortueux comme démarche...

par **Imod** » 24 Nov 2009, 19:32

Patastronch a écrit:Ben ce creux contient un cube a remplir ...

Enfin je crois que c'est ce qu'il a voulu dire.

A la différence du cube initial ce cube peut tout à fait être recouvert avec des débordements :we:

PS : J'avais presque oublié ton existence/insolence :zen:

Imod

par **Doraki** » 24 Nov 2009, 19:33

En 2D, il y a trop de solutions qui permettent de découper un segment en deux segments (avouez que c'est facile).
On se retrouve aisément avec un petit segment sur le bord, ou un petit segment qui n'est pas entouré par des segments assez grands.

Maintenant, en 3D, quand on regarde les pavages avec des carrés, ce sont des problèmes qui arrivent moins souvent, et ptetre que notre petits cubes sont toujours suffisemment bien entourés pour faire marcher la récurrence.

Imod, l'hypothèse de récurrence est qu'on a une face carrée toujours entourée de murs sur laquelle on doit poser des cubes plus petits ; pas de remplir exactement des cubes.

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