En diagonale

[MMu]

On considère un polygone plan convexe de surface . Montrer qu'il existe au moins une diagonale plus grande que .. :zen:

[beagle]

1)La plus grande diagonale du polygone est la plus grande longueur possible d'un point à un autre du polygone?

2)le cercle qui inscrit le polygone est plus petit ou au maximum égal au cercle de diamètre la grande diago.

3)avec une diago de 1 j'ai le cercle maxi de diamètre 1, de rayon 1/2, cercle surface pi/4?

4)donc polygone surface inférieure à pi/4?

5) si diago inf à 1, alors encore plus petit?

PS: exo fait en diagonale, scuses!

[Imod]

Bonsoir :we:

Dans un polygone une diagonale est un segment reliant deux sommets non consécutifs . La plus grande distance entre deux points d'un polygone n'est pas forcément réalisée par une diagonale , on peut le voir en considérant , par exemple , un demi-polygone régulier à 2n côtés . Par contre le périmètre du polygone est nécessairement supérieur à ce qui peut donner une piste mais je n'ai pas encore trouvé

Imod

[beagle]

Bonsoir :we:

Dans un polygone une diagonale est un segment reliant deux sommets non consécutifs . La plus grande distance entre deux points d'un polygone n'est pas forcément réalisée par une diagonale , on peut le voir en considérant , par exemple , un demi-polygone régulier à 2n côtés . Par contre le périmètre du polygone est nécessairement supérieur à ce qui peut donner une piste mais je n'ai pas encore trouvé

Imod

Merci Dominique, juste fait quelques dessins pour voir, donc trop vite ...

[Imod]

Quelqu'un a une idée pour ce problème qui ne semble pas évident à priori :mur:

Imod

[beagle]

Quelqu'un a une idée pour ce problème qui ne semble pas évident à priori :mur:

Imod

salut Dominique,
en ce moment je fais des maths à fond,
enfin la compta pour l'association de gestion pour les impots.
alors j'ai pas trop le temps, l'énoncé m'avait fait prendre quelques minutes,
et j'ai sorti un truc faux,
mais je resterais sur l'idée de la pièce ronde de 1 de diamètre,

alors est-ce que la plus grande longueur dans un polygone peut ne pas ètre une diagonale ou un des cotés comme tu me l'as heureusement bien signalé, le coté étant un cas particulier de diagonale tout de mème.J'ai pas eu le temps de regarder, mais as-tu un petit dessin où la plus grande longueur du polygone rejoint deux points qui ne sont pas sommets?

[Imod]

Non , tu as raison , la plus grande distance entre deux points d'un polygone convexe est réalisée par un côté ou un diagonale . Il suffit de choisir un des sommets comme extrémité , faire varier l'autre sur un côté et observer ce qui se passe .

Mais ça ne résous pas le problème pour autant .

Le cas limite du cercle de rayon 1 permet de voir les choses mais ne justifie rien non plus . Je proposais de regarder le périmètre mais je ne suis pas sûr que ce soit plus simple .

Bonnes révisions :we:

Moi non plus , je n'ai pas beaucoup de temps libre en ce moment .

Imod

[chan79]

Salut
Pour un quadrilatère convexe, c'est simple. Son aire étant égale au demi-produit des diagonales par un sinus, si les deux diagonales sont plus petites que 1, l'aire est plus petite que 0.5 et ne peut donc pas être égale à pi/4.
A partir de 5 sommets .... ???
L'aire ajoutée en ajoutant un sommet peut-elle être majorée ???
Si les diagonales sont plus petites que 1, un côté est au maximum égal à 2 (inégalité triangulaire)

[Dacu]

Bonjour!
Soit il est alors possible qu'une diagonale d'un polygone à être si n'importe quel côté du polygone est .
Cordielement!

[Imod]

@Dacu

Le polygone n'est pas régulier à priori , et je ne vois pas où vont bien pouvoir te mener tes calculs :marteau:

@Chan

J'ai fait comme toi pour le quadrilatère mais la généralisation n'est pas évidente , d'autant que la borne est atteinte à la limite pour un polygone régulier .

Imod

[Dacu]

On considère un polygone plan convexe de surface . Montrer qu'il existe au moins une diagonale plus grande que .. :zen:

Bonjour!
Si les côtés du polygone sont des segments de droites,alors il n'y a aucune sorte de polygone plan de surface .
Cordielement!

[Imod]

Si les côtés du polygone sont des segments de droites,alors il n'y a aucune sorte de polygone plan de surface .

Ah bon :doh:

Imod

[LeJeu]

Bonsoir :we:

Dans un polygone une diagonale est un segment reliant deux sommets non consécutifs . La plus grande distance entre deux points d'un polygone n'est pas forcément réalisée par une diagonale , on peut le voir en considérant , par exemple , un demi-polygone régulier à 2n côtés . Par contre le périmètre du polygone est nécessairement supérieur à ce qui peut donner une piste mais je n'ai pas encore trouvé

Imod

Bonsoir Imod, bonsoir Beagle, bonsoir chan79
je tente ma chance ... même pas peur

Si on appelle diamètre la plus grande diagonale d'un polygone Pn
Je propose P : le diamètre du polygone régulier Rn de même périmètre à un un diamètre inférieur ou égal à celui de Pn
Comme d'autre part la surface du polygone régulier Rn est plus grande que celui de Pn, et que la propriété est vraie pour le polygone régulier ( cf cercle circonscrit) on y est ?

P me semble vrai , je venais voir si ca vous semblait aussi ok ? si vous saviez le montrer ?

En espérant ne pas dire trop de bêtises...

[MMu]

Ce problème est dû à Ludwig Bieberbach , grand mathématicien allemand et activement lié au nazisme :hum:
Comme vous voyez, l'un n'empêche pas l'autre ! Pour le reste, try again ... :zen:

[Dacu]

Ce problème est dû à Ludwig Bieberbach , grand mathématicien allemand et activement lié au nazisme :hum:
Comme vous voyez, l'un n'empêche pas l'autre ! Pour le reste, try again ... :zen:

Bonjour!
Grands mathématiciens ne peuvent pas commis une erreur?Je ne comprends pas!Quel genre de côtés peut avoir un polygone plan convexe qui a la surface ?
Cordielement!

[Imod]

M'enfin Dacu , tu prends un carré de côté :marteau:

Imod

[chan79]

Bonsoir Imod, bonsoir Beagle, bonsoir chan79
je tente ma chance ... même pas peur

Si on appelle diamètre la plus grande diagonale d'un polygone Pn
Je propose P : le diamètre du polygone régulier Rn de même périmètre à un un diamètre inférieur ou égal à celui de Pn
Comme d'autre part la surface du polygone régulier Rn est plus grande que celui de Pn, et que la propriété est vraie pour le polygone régulier ( cf cercle circonscrit) on y est ?

P me semble vrai , je venais voir si ca vous semblait aussi ok ? si vous saviez le montrer ?

En espérant ne pas dire trop de bêtises...

Ca vaut le coup de chercher dans cette direction, je pense :zen:

[Imod]

On peut aussi penser aux polygones de Reuleaux .

Imod

[Dacu]

M'enfin Dacu , tu prends un carré de côté :marteau:

Imod

Bonjour!
Je pense que vous êtes fort plaisante! :zen:
Comment voulez-vous construire un carré avec le côté ? :mur:
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Avez-vous entendu parler de la quadrature du cercle?Si non, alors lire ce qu'il dit ci-dessous:

http://www.google.ro/url?sa=t&rct=j&q=la%20quadrture%20de%20cercle&source=web&cd=1&cad=rja&ved=0CDYQFjAA&url=http%3A%2F%2Ffr.wikipedia.org%2Fwiki%2FQuadrature_du_cercle&ei=fY5OUZuCBMfStQbW3YHADA&usg=AFQjCNG3b-08BLYxlHSkLizZeXJZm6lziw&bvm=bv.44158598,d.Yms
Cordielement!

[Dacu]

On peut aussi penser aux polygones de Reuleaux .

Imod

Bonjour!
Je ne crois pas que MMu se réfère à un polygone de Reuleaux....
Cordielement!