En diagonale

[Imod]

Comment voulez-vous construire un carré avec le côté ? :mur:

Je crois que tu confonds existence et construction à la règle et au compas :lol3:

Imod

[Dacu]

Je crois que tu confonds existence et construction à la règle et au compas :lol3:
Imod

C'est un peu la même chose!
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Je le répète :
Comment voulez-vous construire un carré avec le côté ? :marteau:
Répondre à la question sans autres commentaires! :doh:

[Imod]

@Dacu

Sur une droite tu fais faire un demi-tour à cercle de rayon 1 , tu viens de tracer un segment de longueur pourtant cette longueur n'est pas constructible à la règle et au compas .

Tout ça nous éloigne un peu du problème de MMu qui me semble particulièrement intéressant :zen:

Imod

[Dacu]

Je crois que l'énoncé du problème est incorrect! :triste:

[chan79]

Un résultat peut-être pas utilisable ici, mais ça semble proche:
Parmi tous les polygones convexes dont les côtés ont des longueurs données dans un certain ordre, celui qui a la plus grande aire est celui qui est inscriptible.
(vu sur le site mathcurve)

[Imod]

En effet ce résultat est connu je l'avais vu dans un article d'Albert Lentz il y a quelques années .

Imod

[Imod]

Une petite question pour MMu : tu connais une solution simple au problème ?

J'ai proposé ton problème aux Mathématiques.net et on est parti dans des considérations de "symétrisation" ( ça ne doit pas être très français ) de convexe ...

Imod

[Dlzlogic]

Une petite question pour MMu : tu connais une solution simple au problème ?

J'ai proposé ton problème aux Mathématiques.net et on est parti dans des considérations de "symétrisation" ( ça ne doit pas être très français ) de convexe ...

Imod

Bonjour,
Je vais timidement apporter une possible démonstration.
Soit un polygone régulier de N côtés, N infiniment grand, ce polygone de diamètre 1 a une aire de pi/4.
Prenons 3 sommets successifs, ils forment un triangle. Transformons ce triangle de façon à garder la même aire, le nouveau sommet étant l'intersection de la parallèle à sa base et du côté de polygone précédent les deux côtés choisis pour le triangle. (Un petit dessin aide à la compréhension). L'aire du polygone n'a pas changé, on a une diagonale plus grande que 1 et on n'a plus que N-1 côtés.
Récursivement on supprime tous (ou presque) les sommets du polygone, sans modifier son aire, et chaque sommet ainsi nouvellement créé est l'extrémité d'une diagonale supérieure à 1.

[Imod]

Bonsoir Dlzlogic

Je ne vois pas trop comment tu fais marcher la récurrence car quand tu passes de n à n-1 côtés tu perds la régularité du polygone . D'autre part le cas du polygone régulier est le plus simple car les sommets sont sur un cercle et l'inégalité isopérimétrique permet de conclure instantanément .

Imod

[Dlzlogic]

Bonsoir Dlzlogic

Je ne vois pas trop comment tu fais marcher la récurrence car quand tu passes de n à n-1 côtés tu perds la régularité du polygone . D'autre part le cas du polygone régulier est le plus simple car les sommets sont sur un cercle et l'inégalité isopérimétrique permet de conclure instantanément .

Imod

C'est à dire que je pars d'un polygone régulier d'un nombre infini de côtés. J'ai donc un cercle.
A chaque fois que je supprime un sommet, je garde l'aire égale, mais la nouvelle diagonale est > 1. Donc à chaque suppression de sommet, je crée une diagonale > 1.
Naturellement le polygone se déforme, mais, c'est très important, il reste convexe et garde la même aire. Tout polygone convexe peut être construit à partir de ce polygone de base. Donc tout polygone convexe conforme à l'hypothèse satisfait la conclusion.
Oui, je comprends bien l'inégalité isopérimétrique, mais rien ne prouve que un polygone régulier de N côtés (N fini) qui a une aire de pi/4 a des diagonales > 1. Il faudrait s'amuser à calculer l'aire d'un polygone régulier. J'ai pas trouvé la formule.

[leon1789]

C'est très simple de trouver les formules des périmètre et surface d'un polygone régulier : http://fr.wikipedia.org/wiki/Polygone_r%C3%A9gulier#P.C3.A9rim.C3.A8tre_et_aire
On voit que si la surface vaut , alors le diamètre du polygone régulier est qui est >1 , car lorsque x>0.


Le problème reste entier pour un polygone convexe non régulier.

En revanche, c'est assez absurde de considérer des entiers infiniment grands et des polygones qui sont des cercles.

[Imod]

Un lien vers le site où j'ai relayer le problème de MMu que je trouve bien MMuet :ptdr:

Il y a un peu de lecture :zen:

Imod

[MMu]

Un lien vers le site où j'ai relayer le problème de MMu que je trouve bien MMuet :ptdr:

Il y a un peu de lecture :zen:

Imod

Problème donné dans un certain pays pour préparer des élèves de lycée à l'Olympiade internationale de mathématiques (IMO)..
Try again .. :zen:

[Imod]

Je connais aussi des profs de lycée qui donnent le problème de Sylvester à leurs élèves , il n'y a même pas besoin de les guider , ils trouvent tout seul . A se demander pourquoi tant de monde a séché sur ce problème pendant si longtemps ...

Imod

[Imod]

L'exercice est résolu sur Les Mathématiques.net mais si la solution est courte , l'artillerie est lourde .

Les sommes de Minkowski :zen:

Imod

[Archytas]

Salut,
J'ai soumis le problème à un ami pensant lui poser une colle. Il m'a simplement répondu que la contraposée était immédiate et en effet elle semble l'être. Si toutes les diagonales sont de longueur inférieure stricte à 1 notre polygone est inclus dans le cercle de diamètre 1 qui est de surface donc notre polygone à une surface strictement inférieure à donc différent de . Bien sûr quelques points demandent d'être rédigés avec un peu plus de rigueur mais l'idée est assez élémentaire et les justifications n'ont pas l'air insurmontable. Vos avis ?

[Doraki]

Donc un triangle équilatéral de coté 1 est forcément inclus dans un cercle de diamètre 1 ?

[Archytas]

Donc un triangle équilatéral de coté 1 est forcément inclus dans un cercle de diamètre 1 ?

Non en effet... :lol5:. Ouais du coup c'est pas si évident (: ! Merci !