Deuxième partie

[Imod]

Un problème trouvé sur l'île aux maths

On suppose que la force de chaque joueur est constante et que les paires d'adversaires sont choisies au hasard . Un joueur a gagné sa première partie. Quelle est la probabilité qu'il gagne sa deuxième ?

Votre avis ?

Imod

[Doraki]

Si y'a qu'un seul joueur, c'est 2,
si y'a que deux joueurs, c'est 1,
Et si y'a plus que deux joueurs, je dirais 2/3.

[Imod]

C'est une blague ???

Imod

PS : Île des maths

[fatal_error]

allez, jtente ma chance

on calcule la proba moyenne pour que le joueur gagne son deuxieme match.

JPrends une population numérotée 1,2,...n, ou qq i,j, i>j => le joueur i bat le joueur j (force constante).
now notre joueur X vaut pas 1 par définition vu qu'il a battu quelqu'un (condition énoncé).
On a donc
la proba associée à X=k est lensemble des Y (Y étant un joueur), tels que Y<k
on pioche nos Y parmis n-1 poss (vu que X joue pas en solo)
donc
on déduit

[nodjim]

D'accord avec fatal error.

[Doraki]

Moi je suis pas d'accord avec fatal_error et nodjim.
P(X = k |X gagne son premier match), ça vaut pas du tout 1/(n-1).

En partant d'une population de n joueurs numérotés pareils que lui,

on tire 3 joueurs au hasard parmi ces n joueurs, X, Y, et Z de manière équiprobable.
La probabilité demandée est la probabilité que X > Z sachant que X > Y et X <> Z.

Soit p1 = P(X=Y=Z) = 1/n².
Soit p2 = P(X>Y=Z). 1/n = P(Y=Z) = 2p2+p1 donc p2 = (n-1)/2n².
Soit p3 = P(X>Y>Z). 1 = 6p3+6p2+p1 donc p3 = (n-1)(n-2)/6n²

P(X>Z | X>Y, X<>Z) = P (X>Z, X>Y) / P(X>Y, X<>Z)
= (P(X>Z>Y) + P(X>Y>Z) + P(X>Y=Z)) / (P(X>Y>Z) + P(Z>X>Y) + P(X>Z>Y) + P(X>Y=Z))
= (2p3+p2)/(3p3+p2) = (2(n-2)+3)/(3(n-2)+3) = (2n-1)/(3n-3)

Ca vaut bien 1 quand n=2 et ça tend vers 2/3 quand n tend vers l'infini.

[Imod]

C'est rarissime mais je ne suis pas d'accord avec Doraki :triste:

Mais bon , c'est le type de problème qui a le don d'énerver tout le monde . J'ai souvenir de plusieurs fils sans fin sur les maths.net pour des sujets très proches : Monthy Hall ou Mr et Mme untel ont deux enfants . Ces sujets ont été fermés par la modération car chacun y allait de son couplet et plus personne n'écoutait personne .

Peut-être faut-il fermer ce sujet ?

Imod

[Doraki]

J'vois pas pourquoi il faudrait le fermer.

Si tu expliques pourquoi tu n'es pas d'accord avec la manière de tirer X,Y,Z au hasard, je suis prêt à t'écouter.

A regarder ce qu'a fait fatal_error, il a plutôt répondu à la question :

"Si un joueur a déjà gagné un match un jour, quelle est la probabilité qu'il gagne son match demain ?"

[Imod]

Voilà comment je vois le problème : on tire 2 joueurs au hazard , le premier gagne son match quelle est la probabilité qu'il gagne son prochain duel avec le même protocole ? On est bien d'accord que le résultat du match dépend uniquement de la valeur des joueurs ( pas de hazard à ce niveau ) .

Retirons le premier joueur de la partie et tirons au sort un unique joueur parmi ceux qui restent . Il s'avère que la valeur de ce joueur est inférieure à celle du joueur retiré . On effectue un nouveau tirage avec les mêmes joueurs , que peut-on dire de la valeur du joueur pioché ????

Volontairement je ne propose pas de modèle mathématique .

Imod

[Doraki]

Retirons le premier joueur de la partie et tirons au sort un unique joueur parmi ceux qui restent . Il s'avère que la valeur de ce joueur est inférieure à celle du joueur retiré . On effectue un nouveau tirage avec les mêmes joueurs

Il faut pas oublier que le premier joueur est lui aussi tiré au sort équitablement.

L'information "il s'avère que ...", non seulement elle élimine le cas de figure où on a tiré le pire joueur comme premier joueur, mais elle change toutes nos probabilités a posteriori d'avoir tiré tel ou tel joueur comme premier joueur.

On sait que le premier joueur n'est pas le pire joueur, mais on sait aussi qu'il est peu probable qu'il soit super-nul, parceque s'il était super-nul, il avait peu de chances de gagner son premier match.

Si on remplace "il gagne son premier match" par "il lui est possible de gagner un match", là je suis d'accord, ça nous dit seulement qu'il n'est pas le pire joueur sans influencer la vraisemblance d'être un bon joueur ou un mauvais joueur.
Mais les deux trucs sont bien différents.

[Imod]

Doraki , le fait que le joueur 1 aie gagné sa première partie parmi une multitude de joueurs lui donne l'espoir de gagner la suivante avec 2 chances sur 3 ne te titille pas ?

Imod

[Doraki]

non parceque pour compenser, si tu perds ton premier match alors tu as seulement 1 chance sur 3 a posteriori de gagner ton deuxième match, alors ça compense :

X gagne ses deux matchs si X > Y > Z ou X > Z > Y.
X gagne son premier match et perd le suivant si Z > X > Y.
X perd son premier match et gagne le suivant si Y > X > Z.
X perd ses deux matchs si Y > Z > X ou Z > Y > X.

proba de gagner le premier match : 3/6 = 1/2
proba de gagner le deuxième match : 3/6 = 1/2
proba de gagner le deuxième match sachant qu'on a gagné le premier : 4/6 = 2/3
proba de gagner le deuxième match sachant qu'on a perdu le premier : 2/6 = 1/3

Note que au début, tu ne connais pas ton niveau, et que je n'ai pas dit que tous ceux qui ont perdu leur premier match ont 1 chance sur 3 de gagner le deuxième (ça c'est bien sur faux, parceque quelquepart dans le tas, il y a le pire joueur, qui de toutes façons va perdre tous ses matchs)



Je peux aussi proposer une version (pour moi équivalente) au processus :

On tire deux joueurs au hasard pour un premier match. On garde le gagnant du premier match et on retire un adversaire pour son second match.
Quelle est la probabilité que le gagnant du premier match gagne aussi son second match ?


Et deux versions différentes, où on obtient un résultat qui tend vers 1/2 :

On tire un joueur au hasard X, puis on tire au sort, pour chaque joueur y restant, si X est meilleur que y ou non (1 chance sur 2).
On tire au sort un adversaire pour X, et on observe le résultat du match. Il s'avère que X était meilleur.
On tire encore un adversaire pour X, quelle est la probabilité que X gagne son deuxième match ?

On tire un joueur au hasard X, on tire au sort le niveau de tous les joueurs,
puis on sépare les joueurs restants en deux parties P1 et P2.
On tire au sort dans P1 un adversaire pour X, et on observe le résultat du match. Il s'avère que X était meilleur.
On tire au sort dans P2 un adversaire pour X, quelle est la probabilité que X gagne son deuxième match ?

[fatal_error]

yo,

alors d'abord, j'ai appliqué l'idée de doraki avec les var aléatoires.
voilà ce qu'on a

Code: Tout sélectionner

function [ourWinner, firstLooser] = firstPlay(nbPlayers)
% we look for a win of ourWinner
ourWinner=-1;
firstLooser=0;
  while ourWinnersecondLooser
% 0 otherwise
% secondLooser takes value in [1,N]\{ourWinner}
a=0;
secondLooser=ourWinner;
while ourWinner==secondLooser
  secondLooser=floor(mod(rand(1)*1000, nbPlayers))+1;
end
if(ourWinner>secondLooser)
  a=1;
end

end

Code: Tout sélectionner

function testProbability(nbPlayers, nbRun)
success(1:nbRun)=0;
for i=1:nbRun
[winner, looser] = firstPlay(nbPlayers);
success(i) = secondPlay(winner, nbPlayers);
end
sum(success)/length(success)
fatal=nbPlayers/(2*(nbPlayers-1))
doraki=(2*nbPlayers-1)/(3*nbPlayers-3)
end

le résultat de doraki concorde. Le mien aussi(autre implem). Le problème vient de l'interprétation de l'énoncé.

le point qui me turlupine:
si X gagne son premier match, alors il a plus de chances detre roxXor. Je cerne bien le truc.
A priori, on nous dit justement qu'il a gagné son premier match. Ya pas de raisons d'évaluer la probabilité d'une telle possibilité. C'est la raison pour laquelle je met (X=k|winner)=1/(n-1) : le joueur a autant de chance parce qu'on nous le dit (mais qui n'est pas meilleure ni moins bonne que la première réponse, c'est juste l'interprétation de l'énoncé)

edit : au passage je veux bien une explication pour ce passage

p3 = P(X>Y>Z). 1 = 6p3+6p2+p1 donc p3 = (n-1)(n-2)/6n²

je pige pas d'ou tu sors :e 1=6p3+6p2+p1

[Doraki]

1 = 6p3 + 6p2 + p1, ça vient du fait que quand on tire 3 nombres au hasard, y'a 13 possibilités :
1 =
P(X>Y>Z) + P(X>Z>Y) + P(Y>X>Z) + P(Y>Z>X) + P(Z>X>Y) + P(Z>Y>X)
+ P(X>Y=Z) + P(Y>X=Z) + P(Z>X=Y) + P(X=Y>Z) + P(X=Z>Y) + P(Y=Z>X)
+ P(X=Y=Z)


J'vois pas trop comment on peut interpréter l'énoncé de manière à trouver 1/2.

On tire une série de matchs au hasard jusqu'à ce que tout le monde ait fait au moins 2 matchs.
Une fois que tout est terminé, on regarde, parmi les joueurs ayant gagné leur 1er match, combien ont gagné leur second match.

Moi j'observe que si on décide que je te donne 3€ pour chaque joueur qui a gagné puis perdu, et que tu me donnes 2€ pour chaque joueur qui a gagné puis gagné, bah j'ai tendance à devenir riche.

[fatal_error]

Moi j'observe que si on décide que je te donne 3€ pour chaque joueur qui a gagné puis perdu, et que tu me donnes 2€ pour chaque joueur qui a gagné puis gagné, bah j'ai tendance à devenir riche.

imagines deux pièces séparées par un mur. La seconde pièce c'est la deuxième partie.
il arrive un X vainqueur, sortant de la première pièce.

cette pièce ne contient que des vainqueurs.
on prend tous les vainqueurs potentiels distincts.

la question est : tient-on compte de la distribution des vainqueurs?

dans ta méthode, oui, dans la mienne non. Donc je dev la mienne.
On nous dit que X a gagné. Autrement dit, quelque soit le X qu'on prend, il a gagné. il a pas plus de chances de gagner qu'un autre. Il a juste gagné. et apres on choisit un X parmi les présents.

pour revenir à la réalité, t'arrives à la deuxième partie.
tas un joueur X sur les épaules. tu filerais 3€ s'il perd?
ben ca sent pas bon.

fin voilà de toute façon comme l'a dit Imod c'est un énoncé à trooll et ya toutes les variantes foireuses là dessus.

[Doraki]

Sauf que dans la pièce, y'a trèèèèès rarement (n-1) joueurs qui y rentrent.

C'est quoi ton processus pour observer ta probabilité de 1/2 ?

Si c'est "j'écarte le joueur le plus nul parcequ'il peut pas gagner,
je prends X parmi les (n-1) joueurs qui restent (sans les faire préalablement jouer), puis je prends Z parmi les (n-1) joueurs autre que X."

Ben je vois carrément pas comment ça peut correspondre à l'énoncé.

L'énoncé dit clairement "on tire des matchs au hasard, PUIS on regarde un joueur qui a gagné son 1er match", et pas "on tire un joueur au hasard parmi les (n-1) meilleurs".

[Imod]

Voilà comment l'auteur du sujet illustre son problème sur l'île des maths .

Une analogie.
On a une quantité indéfinie de cartons (les joueurs) marqués chacune d'un nombre différent (leur force constante) . On tire un carton (le joueur en question) . On tire un deuxième carton (son premier adversaire) . Il se fait que le premier nombre tiré (A) est plus grand que le deuxième.
On remet le deuxième carton dans le tas et on en tire à nouveau un (le deuxième adversaire). Il n'est pas exclu que ce soit le même carton que celui qu'on a remis .Quelle est la probabilité que le nombre A soit plus grand que le nouveau nombre tiré ? (On peut étudier d'abord le cas où il y a n cartons ).

Il est clair que dans l'esprit de l'auteur nous ne sommes pas dans l'interprétation qu'en fait Doraki . Sommes nous au moins d'accord que pour ce problème qui est moins sujet à controverse que la probabilité tend vers 1/2 pour un grand nombre de cartes . Pour le reste il vaut mieux laisser tomber :marteau:

Imod

[Doraki]

Sommes nous au moins d'accord que pour ce problème qui est moins sujet à contreverse que la probabilité tend vers 1/2 pour un grand nombre de cartes .Imod

Ben non, c'est la même chose.

"Je choisis un carton1 et un carton2 au hasard, si carton1 gagne, je fais blablabla, sinon je recommence depuis le début" ce n'est pas équivalent à "je choisis un carton1 au hasard parmi les cartons 2 à n et je fais blablabla".

le "sinon je recommence depuis le début" me parle plus que "il se fait que carton1 > carton2", et ça va nous parler de probabilités conditionnelles dans les deux cas. Et ça dit comment on fait pour mesurer expérimentalement la proba qu'on cherche.

Après, si "il se fait que carton1 > carton2" vous le comprenez différement ben j'aimerais que vous expliquiez comment vous comprendriez / mesureriez cette "probabilité".

[nodjim]

L'explication de Doraki commence à m'intéresser et je dois dire qu'il faut que je révise ma 1ère approche, car j'ai négligé la population des joueurs vainqueurs du 1er match. On ne dit pas trop comment s'effectue le 1er match, mais je suppose que le nb de joueurs est pair ?

[Imod]

C'est bien sûr le premier tirage qui pose problème car à partir du moment ou on sait que le premier joueur a gagné ce n'est plus une probabilité mais une certitude et ( à mon avis ) on ne doit pas tenir compte de la probabilité de ce premier gain pour la suite .

Imod