Deux triangles

[Dacu]

Bonjour à tous,

Soit ABC un triangle scalène avec le point D à l'intérieur sachant que ADB=BDC=CDA=120 degrés sexagésimaux et PQR un triangle équilatéral avec le point S à l'intérieur sachant que SP=BC , SQ=AC et SR=AB.Montrer que PQ=DA+DB+DC.

Cordialement!

[focon]

d'où sortent les points Q et R?

[pascal16]

Je pense qu'il n'y a qu'un seul tringle équilatéral qui puisse vérifier : SP=BC , SQ=AC et SR=AB.
et donc 1 seule figure faisable donc une définition du triangle PQR.
juste l'énoncé est bien tordu.

[Ben314]

Salut,

Capture.png (28.2 Kio) Vu 321 fois

C'est du archi classique concernant le point de Torricelli (ou point de Fermat) :
On note R l'image de B par la rotation de centre A=S et d'angle -60° : les points C,D,?,R sont alignés vu les angles de 120° en D.
On note alors P l'image de C=Q par la rotation de centre R et d'angle 60° : elle envoie B sur A=S donc [BC] sur [SP].
On a alors sous les yeux le triangle équilatéral recherché avec les égalités recherchées.

On peut à la rigueur démontrer qu'étant donné 3 longueurs SP, SQ et SR, il existe (à isométrie prés) un unique triangle équilatéral (PQR) et un unique S correspondant, mais il me semble bien qu'on l'a fait dans cette même section il y a peu.