Deux questions d'arithmétique

[M.Floquet]

Bonjour à tous, voici deux questions d'arithmétique que je trouve intéressantes :

1- Soit un nombre premier, montrer par récurrence sur que : .

2- Soit un nombre premier, montrer que : .

Bonne chance :++: !

[beagle]

POue la 1) on retombe sur le fait que le nombre de combinaisons de k éléments dans p éléments
est un nombre entier.
donc les éléments de k! ne peuvent que diviser la suite après p des p-1, p-2, p-3,...

comme dit ici:
http://www.maths-forum.com/simplifications-c-n-p-166045.php

donc si la démonstration aide à comprendre pourquoi lorsque p est dans les derniers cela ne marche pas pour tous les k, je reste à suivre ce fil avec intérèt.

[Matt_01]

Pour la 2, on montre que :
Pour k de 0 à p-1, les éléments que l'on somme sont congrus à .
Pour k=p, on obtient une congruence de 2.

[M.Floquet]

Pour la 1, la difficulté réside dans l'hérédité

[Monsieur23]

Aloha,

Pour la 1, la récurrence me semble la plus mauvaise idée du monde, non ?

En appelant Uk ton terme, on a pUk entier (coefficient binomial).
Donc k! divise p(p-1) … (p-k+1).

Reste à montrer que k! premier avec p.

[M.Floquet]

Effectivement, on peut s'en sortir facilement avec le lemme de Gauss. Avec la récurrence il faut déjà essayer de passer le rang k=3 ce qui difficile ...

[beagle]

Effectivement, on peut s'en sortir facilement avec le lemme de Gauss. Avec la récurrence il faut déjà essayer de passer le rang k=3 ce qui difficile ...

je prends k= 4,
4!=1x2x3x4
au numérateur si 4 entiers consécutifs j'aurais un pair, un pair de pair (x4) et un multiple de 3

k=5
si 5 entiers consécutifs j'aurais aussi un x5

...

[M.Floquet]

avec k=4 tu as 3 termes au numérateur

[beagle]

avec k=4 tu as 3 termes au numérateur

avec le p premier cela fait 4 termes consécutifs,
donc du fait des premiers, les diviseurs sont dans les 3 autres, non?

[M.Floquet]

En prenant k=4 l'expression devient [(p-1)(p-2)(p-3)]/4!

[beagle]

En prenant k=4 l'expression devient [(p-1)(p-2)(p-3)]/4!

c'est bien ce que je dis:
px(p-1)x(p-2)x(p-3)
sont 4 entiers consécutifs donc cela se divise par 4!
comme les multiples de 2 et 3 et 4 ne sont pas dans p qui est premier
voilà bien pourquoi cela divise les 3 consécutifs suivants, enfin précédents plutot.

et voilà qui explique à beagle (QS son premier message du fil) pourquoi cela fait la grosse différence quand p est premier,
vu que beagle ne réfléchit pas trop par lui-mème avant de répondre ...
J'imagine qu'il a d'autres qualités!

[M.Floquet]

D'où vient ton p ?

[beagle]

D'où vient ton p ?

Bah le problème n'est pas d'où vient p mais plutot qui doit aller le chercher.
Et je pense que c'est à toi d'aller le chercher :lol3:

Bon chacun fait avec sa culture.
Si on sait (sinon on peut reprendre la démonstration) que la multiplication de k entiers consécutifs est divisible par k!, on dirait que l'exo devient simple.
C'est là où tu rajoutes ton p avec les k-1 facteurs de l'exo,
tu as alors k entiers consécutifs en multiplication , divisibles par k!
Et comme p est premier, ben c'est la multiplication des k-1 entiers de l'exo qui est divisible par k!