Deux "défis" Lycée

[Ben314]

PS. Finalement avec tout ça en prenant lambda=1/2 j'obtiens que M=max|f'|>=2

Oui, c'est ça (ou pouvait aussi "intuiter" que lambda=1/2 est la bonne valeur pour des raisons de symétrie).

[benekire2]

Ok, c'était pas évidement de trouver un machin qui permette d'avoir des vraies infos sur |f''| ... même l'inégalité de Taylor Lagrange nous apporte rien sous sa version brute, j'y avais songer mais j'avais vraiment rien pu faire que pour moi c'était mort. En tout cas très belles idées ! Bon sinon , j'aimerais bien trouver une fonction C2 "aussi proche que l'on veut" de notre superbe fonction limite (qui elle n'est pas C2, mais juste deux fois dérivables. ). Comment est-ce que je peut faire ?

[Ben314]

On (Doraki et moi) te l'as déjà dit : écrit ta suite de majorations (avec lambda=1/2) et regarde dans quelle condition il y a égalité : tu devrait trouver tout seul quelle est la fonction f" (non continue) qui donne l'égalité et en déduire quelles sont les fonctions f" continues qui donnent presque l'égalité.

Méthode totalement identique (et évidement résultats identiques) si tu utilise les majorations à la "ffpower".

[benekire2]

Je trouve que la fonction parfait est f(x)=-x²+1/2 pour x<1/2 et puis f(x)=x²-2x+1 pour x>1/2 qui n'est pas C2

Pour les fonction C2 qui approxime "correctement" je ne peut pas trop me servir de paraboles alors je peut essayer avec les fonctions polynômes de degré 3 ...

C'est ça ? :hein:

PS. Superbe exo au final , bravo ben :zen:

[Ben314]

Je trouve que la fonction parfait est f(x)=-x²+1/2 pour x1/2 qui n'est pas C2

Pour les fonction C2 qui approxime "correctement" je ne peut pas trop me servir de paraboles alors je peut essayer avec les fonctions polynômes de degré 3 ...

C'est ça ?

oui, c'est exactement ça, mais avec des fonctions du troisième degrés, tu ne sera jamais "trés proche" des deux morceaux de parabole.

En fait "la" solution (non continue) est f"=-1 sur [0,1/2[ puis f"=1 sur ]1/2,1].

Si on veut approximer par du continu, on prend par exemple
f"=-a sur [0,1/2-epsilon] ; f"=a sur [1/2+epsilon,1] et f" affine sur [1/2-epsilon,1/2+epsilon] pour "recoller" les deux segments (et évidement a un souspson plus grand que 1)

Bien sûr, il doit y avoir une certaine relation (que je n'ai pas calculée) entre a et epsilon pour qu'une telle fonction "marche" (et, bien sûr, si a tend vers 1+ alors epsilon tend vers 0)

[benekire2]

Enfin tu veut dire f''=-2 puis f''=2 et pas avec 1 puisque on a montré que la borne inf était 2 :hein:

[ffpower]

Ok, c'était pas évidement de trouver un machin qui permette d'avoir des vraies infos sur |f''| ... même l'inégalité de Taylor Lagrange nous apporte rien sous sa version brute, j'y avais songer mais j'avais vraiment rien pu faire que pour moi c'était mort. En tout cas très belles idées ! Bon sinon , j'aimerais bien trouver une fonction C2 "aussi proche que l'on veut" de notre superbe fonction limite (qui elle n'est pas C2, mais juste deux fois dérivables. ). Comment est-ce que je peut faire ?

En fait elle est même pas 2 fois dérivable ( en 1/2), mais ça reste moralement la fonction solution de l'exo. Il faudrait juste changer un chouia l'énoncé : plutot que de demander à controler les "variations de pentes de f" grace à la quantité max(|f''|), il vaudrait mieux la remplacer par la quantité Lip(f') ( constante de lipschitz de f', définie par la plus petite constante C telle que pour tout x,y, ) sachant qu'il s'avere que Lip(f')=max(|f''|) quand f est C^2, et qu'avec ce nouvel énoncé, l'inf est bien atteint par la fonction que t'as donné ( bon faudrait changer un chouia les preuves précédentes par contre pour travailler ce cas plus général ).

Mais si tu tiens à avoir des solutions C^2 qui approchent le cas optimal, le mieux est je pense de commencer par approcher f'' par des fonctions continues ( ou f et ta solution optimale ).

edit : mou du genou sur ce post, Ben m'a devancé^^

[Ben314]

Enfin tu veut dire f''=-2 puis f''=2 et pas avec 1 puisque on a montré que la borne inf était 2 :hein:

effectivement (mais, en fait, à mon grand age, un ou deux, quelle différence ? :mur: )

[benekire2]

Ok merci !

En tout cas bravo :we:

Et sinon je me demandais au début comment Ben avait fait pour en venir a étudier cette fameuse intégrale (qui n'est autre que le reste intégral dans l'égalité de Taylor Lagrange au final donc rien de "Miraculeux" ! ) parce que a chaque fois ça me tue Ben essaye de faire croire que la preuve sort "De nulle part" et souvent il y arrive , mais pas ici :zen:

Bon sinon faudrait que je me tape la fin de l'exo 1 ... :happy2:
En ce qui concerne cet exercice , j'ai fais le 1 , le 2a et le 3a et je sais que le 3b (normalement) est infaisable, donc logiquement il reste le 2b.

[Ben314]

...donc logiquement il reste le 2b.

qui, vu que le 3)b) est "injouable" (en tout cas, il n'y a pas de formule "explicite" simple) ne peut être que du "bricolage".
Le but étant bien sûr de faire le moins de bricolage possible.

[benekire2]

Ouais , et j'ai vu ce que nodjim a dit donc j'ai simplement a prouver que pour les nombres au dessus ça marche et ça doit très bien se faire par réccurence et le théorème de Bezout

[benekire2]

en tout cas, il n'y a pas de formule "explicite" simple)

Y en - a - il une tout court ?? D'ailleurs j'ai fais une recherche "nombres de Frobenius" ou "problème de Frobenius" et j'ai l'impression que Google veut me le cacher :hum:

[Ben314]

Y en - a - il une tout court ?? D'ailleurs j'ai fais une recherche "nombres de Frobenius" ou "problème de Frobenius" et j'ai l'impression que Google veut me le cacher :hum:

Il y a des "algorithmes" (pas trés rapides) permettant de déterminer le nombre de Frobenius d'un n-uplet a1,a2,...,an dans le cas général et, évidement, il y a des cas particulier (par exemple, pour n=2) où c'est fastoche.
Ici, j'ai pris des nombres "pas trop pourris" mais pas "franchement gentils" non plus...

[benekire2]

Bé le cas n=2 il est "clos" puisque a partir de (a-1)(b+1) y a plus a chier on trouve toujours des solutions et (a-1)(b-1)-1=ab-a-b est le plus grand entier où on vas pas en trouver.

Par contre a partir de n=3 ... :marteau:

[nodjim]

N peut toujours s'écrire sous la forme ax+by+cz, a b c globalement premiers entre eux si N> ppcm(ab)-a-b+{(pgcd(ab)-1)*c}.
En intervertissant abc, 3 expressions sont possibles, prendre la min.

[Doraki]

En fait, 45 = 5*9, 50 = 5*10, et 48=3*10+2*9, donc 5*48 = 3*45 + 2*50.
Ce qui fait que si n s'écrit 45x+48y+50z, on peut toujours avoir y<5, c'est-à-dire qu'on peut prendre systématiquement y = n/3 mod 5.

Ensuite, comme on sait que le plus grand entier qui ne s'écrit pas sous la forme 9x+10y c'est 71, ça montre que 5*71+4*48 = 547 est le plus grand entier qui ne s'écrit pas sous la forme 45x+48y+50z

[Benjamin]

P.S. En faisant quelques essais, j'ai l'impression qu'avec les nouvelles couleurs du forum, un truc qui marche bien pour le "blanc", c'est la balise color=#F0F0FF (entre crochet bien sûr)

Il suffisait de demander ^^
La couleur de fond est #F0F0F9.
TEST DE "BLANC":
EST CE DU VRAI "BLANC" POUR TOUT LE MONDE ?
FIN DU TEST

[Ben314]

...48=2*10+2*9...

Comme quoi, je suis pas la seule bille en calcul du forum...

[nodjim]

La formule que je propose vient de cette idée: le plus petit ppcm est 5*(9*10). Tout nombre multiple de 5 est solution à partir de 5*(9*10-9-10)=71*5. Mais il reste les nombres non multiples de 5. il faut donc pouvoir disposer d'un stock dans le groupe 48 pour transférer les restes modulo 5 du groupe 48 vers le groupe duo 5(9 et 10), pour rendre le nombre à étudier multiple de 5 en lui ajoutant l'opposé du reste modulo 5. Comme les restes modulo 5 sont 1 à 4, il faut disposer de 4 éléments du groupe de 48.
D'où le nombre mini N=5*71+4*48.

[nodjim]

Pour la petite histoire, sur le réseau ferré français, le passage d'une ligne droite à une courbe (arc de cercle) se fait effectivement par un raccordement parabolique, pour adoucir l'accélération transversale.