Deux "défis" Lycée

[Ben314]

C'est un vrai blanc :we: et merci de l'astuce au passage :lol3:
sinon moi je réfléchis de mon côté en attendant ffpower.

PS. Ben , comment fais tu pour avoir "des indications" sur la borne inf du maximum de |f''| ? Je n'arrive pas à le mettre en jeu ,

ben je raisonne trés "graphiquement" : la fonction doit "descendre" donc la dérivée doit être négative à un moment et, comme elle part de 0 et retourne à 0, il faut que la dérivée seconde soit négative puis qu'elle soit positive...
Mais je n'ai pas cherché de preuve "calculatoire" correspondant au raisonnement "graphique".

[ffpower]

Bon, je vais encore laisser mijoter Benekire un peu avant de poster. Ca n'utilise que des arguments de lycée, si ce n'est que j'utilise une inégalité de Taylor à l'ordre 2, qui, même si sa démo est niveau lycée, n'est pas évidente à deviner quand on a jamais vu, donc je la remet ici :

( se démontre en écrivant :

puis en majorant.. )
Et effectivement, l'inf n'est pas atteint, ou plutôt il est atteint mais pour une fonction qui n'est pas C^2..
Et sinon, le blanc est du vrai blanc, mais bizarrement ne l'est plus en ce moment, pendant que je suis en train de répondre et que je regarde les derniers messages postés^^

PS : toujours aussi moche mimeTeX :triste:

[nodjim]

Correct.
As-tu :
1) Pas de preuve ?
2) Une preuve pourrie (des tonnes de cas à étudier) ?
3) Une preuve pas trop pourrie ?

Plutôt le 3), car on ne peut trouver 547 au hasard.
Disons que 547 est une hypothèse issue de la logique: au delà, tous les nombres sont solution. Encore faut il vérifier que ça marche pour 547 par les tests: pas des tonnes quand même.
Sans tout dévoiler aujourd'hui: 547=355+4*48. ça répond pratiquement à la question littérale.
Sauf erreur, le second nombre est 499.

[benekire2]

Du coup pour l'exo 2 j'obtiens que max|f''|>=1 mais je sais pas si c'est optimal et je sais pas non plus comment trouver des fonctions susceptibles de s'en approcher.

[Ben314]

Du coup pour l'exo 2 j'obtiens que max|f''|>=1 mais je sais pas si c'est optimal et je sais pas non plus comment trouver des fonctions susceptibles de s'en approcher.

C'est effectivement optimal (mais on ne peut pas atteindre cette borne, seulement s'en rapprocher autant qu'on veut).
Pour trouver comment (presque) atteindre cet optimum, tu n'as qu'à regarder la suite de majorations que tu as utilisé et, à chaque majoration, tu te demande dans quelles conditions on a (presque) égalité...

[ffpower]

Euh, non, ce n'est pas optimal..

[benekire2]

FFpower >> Comment tu obtient l'optimal alors ?

Ben >> Je vais essayer après manger, va falloir regarder la majoration de Taylor Lagrange puis la mienne (simple application x=0 et h=1 )

[ffpower]

Disons juste que le probleme quand tu fais seulement x=0, h=1, c'est que tu n'utilises pas l'hypothese f'(1)=0

[Ben314]

Euh, non, ce n'est pas optimal..

Effectivement, j'ai lu de travers...

[Ben314]

Bon, perso, je procède de la façon suivante :
Une fonction est entièrement déterminée par : , et la connaissance de .

La fonction vérifie les hypothèses, ssi , et si on a :


et c'est avec ça que je "travaille" (en choisissant bien sûr un certain lambda)

[benekire2]

Pour FFpower , en effet j'ai pas tenu compte d'une condition.

Sinon , je vois pas quelle méthode suivre entre celle de FF et de Ben , et sur les deux ben je patauge.
Pour choisir "le bon lambda" je n'y arrive pas , mais je sais que on doit faire ça de manière a majorer l'intégrale et d'en déduire que max|f''|>1/2 (enfin je pense) après savoir si c'est optimal et comment construire ma fonction , j'ai encore encore moins d'idée

[grasoc]

J'ai un mystère si quelqu'un arrive à le résoudre!! :ptdr:

Trouvez le mécanisme qui servi à construire le tableau ci-dessous en complétant les deux dernières colonnes.

1 2 3 4 5 6
u 2187 729 243 81 ???? ????
v 17 38 59 80 ???? ????
w 3 5 3 5 ???? ?????
x 0 1 8 27 ???? ??????
y 0 1 racine de 2 racine de 3 ???? ??????
z 3024 1512 756 378 ???? ??????


Je suis curieux de voir qui va réussir.

[ffpower]

Tu veux montrer que max(|f''|)>1/2 alors que t'as déja montré que max(|f''|)>1 ? :we:

Si tu utilises ma méthode : majore grace à l'inégalité de Taylor |f(1)-f(x)| et |f(x)-f(0)|, pour un bon x à choisir aprés coup.
Si tu utilise la méthode de Ben : majore l'integrale, calcule là en fonction de lambda et choisis un lambda qui optimise l'expression.
Les 2 méthodes reviennent à peu près presque exactement au même.

[Doraki]

comment construire ma fonction , j'ai encore encore moins d'idée

normalement ta fonction elle est donnée par ta preuve, quand tu remplaces les inégalités par des égalités. Bien sûr ça va ressembler à des bouts de paraboles vu que comme partout tu majores |f"| par un certain réel m = sup f", bah ta fonction elle aura f" = m ou f" = -m à peu près partout.

[Ben314]

...Les 2 méthodes reviennent à peu près presque exactement au même.

Je suis à peu prés presque totalement d'accord... :zen:

[benekire2]

Donc avec la méthode de Ben , ben du coup je majore avec M le max de |f''| j'ai que l'intégrale est majorée par l'intégrale de M(x-lambda) qui vaut (entre 0 et 1) (1/2-lambda)M
J'obtiens donc 1/2<(1/2-lambda)M mais c'est un peu absurde comme truc , j'ai du merder quelque part.

[Ben314]

Quand tu majore, c'est en valeur absolue (il est certain que f" change de signe vu que f' va de 0 à 0) et l'intégrale de 0 à 1 de |x-\lambda| (en valeur absulue), ce n'est pas 1/2-lambda !

[benekire2]

Oui en effet, j'avais zappé ce petit détail , donc du coup l'intégrale vaut lambda-1/2 pour les lambdas plus grands que 1 , elle vaut 1/2-lambda pour les lambdas négatifs et puis pour les lambdas entre 0 et 1 elle vaut : [enfin si j'ai pas merder le calcul,]

PS. Finalement avec tout ça en prenant lambda=1/2 j'obtiens que M=max|f'|>=2

[ffpower]

ca m'a l'air good..Donc au final, tu obtiens quoi?

[benekire2]

Je viens d'éditer , je toruve M>= 2

Pour construire une fonction "limite" on fait comme Doraki l'as dit , reste a montrer qu'elle n'est pas C2 et trouver une fonction qui approxime pas trop mal et qui reste C2

PS. Je viens de faire avec ta méthode FF , c'est effectivement la même ... une fois fait les deux majorations que tu demande, j'ai additionné avec l'inégalité triangulaire et on retombe pile poil sur l'identité qu'on obtient avec la méthode de Ben.