Deux "défis" Lycée

[Ben314]

Suite à deux discutions qui se tiennent dans la section Lycée (que je ne voulais pas "poluer") je propose les généralisations suivantes :

Exo 1 :
1) Soient a et b deux entiers naturels premiers entre eux.
a) Montrer que tout entier naturel n suffisement grand peut s'écrire n=xa+yb avec x,y dans N.
b) Quel est le plus grand entier naturel n ne pouvant pas s'écrire n=xa+yb avec x,y dans N ?

2)
a) Montrer que tout entier n suffisement grand peut s'écrire n=45x+48y+50z avec x,y,z dans N.
b) Quel est le plus grand entier naturel n ne pouvant pas s'écrire n=45x+48y+50z avec x,y,z dans N ?

3) Soient a,b,c trois entiers naturels globalement premiers entre eux.
a) Montrer que tout entier naturel n suffisement grand peut s'écrire n=xa+yb+zc avec x,y,z dans N.
b) Quelle est logiquement la question b) de ce 3) ?

Exo 2 :
Dans le but de construire une rampe inclinée, on désire trouver une fonction de classe C2 (deux fois dérivable et de dérivée seconde continue) telle que f(0)=1/2 ; f'(0)=0 ; f(1)=0 ; f'(1)=0.
Pour qu'il n'y ait pas de gros changement de pente (i.e. de trop grosse variations de f') on désirerait que la valeur maximale de |f"(x)| soit la plus petite possible.
Quelle fonction f proposez vous ?

[benekire2]

Très intéressants ces deux exos et pas évidents, le deuxième (mais aussi le premier) m'intriguent :zen: Affaire à suivre , merci :we:

[benekire2]

Pour le I-1.a. c'est bon, mais par contre , dans un autre topic t'avais suggéré que la récurrence était pas le top , j'ai pas utilisé de récurrence, mais c'est pas tellement plus rapide ... tout réside dans bezout ..
Pour la 1.b je pense me démerder, je regarderais la 2 plus tard, et la 3 aussi, qui est une généralisation du 1. mais je sais pas si bezout ça marche sur 3 entiers, bref je vais creuser,


Pour l'exo 2 , euh on peut trouver pleins de fonctions vérifiants ça, mais je vois pas qu'est-ce qui va faire que ce sera la meilleure :mur:

[Matt_01]

Pour ceux qui veulent en savoir un peu plus là dessus, j'ai planché l'année dernière en épreuve de maths info à l'ens sur les nombres de Frobenius. C'est assez sympa.

[Doraki]

Pour l'exo 2 , euh on peut trouver pleins de fonctions vérifiants ça, mais je vois pas qu'est-ce qui va faire que ce sera la meilleure :mur:

La meilleure est celle dont |f"(x)| reste le plus proche de 0.

Si tu prends f(x) = 1/4*(1+cos(3pi x)), f" va jusqu'à 9pi²/4, tandis que si tu prends g(x) = 1/4*(1+cos(5pi x)), g" va jusqu'à 25pi²/4, qui est plus grand que 9pi²/4. Donc f est meilleure que g.

(bien sûr y'en a qui font bien mieux).

[benekire2]

Oui Doraki, je comprends bien mais évidemment ce que j'aimerais savoir c'est de quelle façon je vais m'y prendre pour trouver la fonction qui va le minimiser ... c'est là l'intérêt du machin , :we:

[Ben314]

Trés franchement, le 2)... je l'ai pas encore cherché... :triste:
donc c'est un "vrai" défi...

Par contre le 1) est effectivement "classique"

[benekire2]

Pour le b : (a-1)(b-1)-1

Pour la 2 je le ferrais "à la main" mais je pense que le plus petit entier "impossible" est 101331 (est ce que c'est juste au moins ? )

[Ben314]

101331 = 2239x45 + 12x48 + 0x50 ...

[benekire2]

Et bien j'ai raté alors :ptdr: C'est pas grave je chercherais plus sérieusement :zen:

[nathanap]

Pour ceux qui veulent en savoir un peu plus là dessus, j'ai planché l'année dernière en épreuve de maths info à l'ens sur les nombres de Frobenius. C'est assez sympa.

étrange, il n'y a aucun résultat pour "nombres de Frobenius" sur google

[Matt_01]

https://interens.ens-lyon.fr/filiere-mp/annales-de-la-banque-i/session-2010/MATHEMATIQUES%20-%20INFORMATIQUE%2010.05M.pdf
C'est vrai que c'est bizarre que ce terme ne soit pas repris sur internet par exemple.

[Ben314]

étrange, il n'y a aucun résultat pour "nombres de Frobenius" sur google

Pourtant, c'est aussi sous ce nom là que je les connait...

Faire attention aussi au fait que, dans la litérature, le "nombre de frobenius" peut désigner soit le dernier qui ne s'écrit pas (pour les anglosaxons) soit le suivant, c'est à dire le premier à partir duquel tous s'écrivent (pour les francophones)

Edit : regarde là http://www.ecp6.jussieu.fr/pageperso/ramirez/Travaux-recherche.pdf

[nodjim]

Pour l'exo 1, le 2b), 547 semble être le + grand entier non solution de 45x+48y+50z.

[Ben314]

Pour l'exo 1, le 2b), 547 semble être le + grand entier non solution de 45x+48y+50z.

Correct.
As-tu :
1) Pas de preuve ?
2) Une preuve pourrie (des tonnes de cas à étudier) ?
3) Une preuve pas trop pourrie ?

[benekire2]

Re,

Je n'ai pas encore fait le 2 mais pour la 1 on va faire comme dans la 1, avec bezout pour avoir des x,y,z tels que ax+by+cz=1 ... et on va étudier certains cas aussi mais plus que dans le 1 j'ai l'impression, est-ce la bonne méthode ? Sinon pour la b si je suis la méthode pour le 1b on va aussi étudier des cas, ce qui me laisse penser (si jamais c'est la méthode bonn ou moins mauvaise ) que ta preuve du 2b (Ben) est un peu pourrie maisy arrive ?

[ffpower]

Viens de faire l'exo 2..Est-ce qu'on attend que ce soit résolu par un lycéen ( vu que c'est un défi lycée ) ou est-ce que je poste ma réponse?

[benekire2]

Viens de faire l'exo 2..Est-ce qu'on attend que ce soit résolu par un lycéen ( vu que c'est un défi lycée ) ou est-ce que je poste ma réponse?

Tu as utilisé des outils lycéens ? Au pire lâche un petit indice, j'avoue ne pas voir comment on s'en tire :hein:

[Ben314]

Viens de faire l'exo 2..Est-ce qu'on attend que ce soit résolu par un lycéen ( vu que c'est un défi lycée ) ou est-ce que je poste ma réponse?

Le mot "Lycée" dans le titre, c'était juste du fait que c'était inspiré (mais à peine généralisé...) de deux vraies questions de lycéens donc chacun fait comme il veut...

Donc t'as qu'à poster en blanc au cas où il y en a des qui veulent pas lire.

P.S. En faisant quelques essais, j'ai l'impression qu'avec les nouvelles couleurs du forum, un truc qui marche bien pour le "blanc", c'est la balise color=#F0F0FF (entre crochet bien sûr) :
TEST DE "BLANC":
EST CE DU VRAI "BLANC" POUR TOUT LE MONDE ?
FIN DU TEST

P.S. : Pour l'exo 2), j'ai toujours pas super cherché, mais j'avais l'impression que la borne inf (pour le max de |f"|) ne pouvait pas être atteinte...

[benekire2]

C'est un vrai blanc :we: et merci de l'astuce au passage :lol3:
sinon moi je réfléchis de mon côté en attendant ffpower.

PS. Ben , comment fais tu pour avoir "des indications" sur la borne inf du maximum de |f''| ? Je n'arrive pas à le mettre en jeu ,