Déterminer trois nombres

[anthony_unac]

Bonjour,
"Trouvez trois nombres (entiers naturels) tels que leur somme est un carré et que la somme de chaque paire de nombres est aussi un carré."

[WillyCagnes]

bjr

1+10+14=5²
(1+10)+(1+14)+(10+14)=7²

[anthony_unac]

Pas mal Willy mais hélas vous avez réalisé la somme de toutes les paires de nombres et non pas la somme de chaque paire.

[zygomatique]

salut

donc

on soustrait chacune des trois dernières à la première ...

[chan79]

Salut
S'il s'agit de donner un exemple: (a,b,c)=(0,0,0)
ou plus sérieusement: (a,b,c)=(88,168,273)

[anthony_unac]

Bien joué Chan79 !
Ta solution fonctionne (même si ce n'est pas celle à laquelle je m'attendais)
Pour corser un peu l'affaire, j'attends le triplet minimal (autre que (0;0;0))

[anthony_unac]

on soustrait chacune des trois dernières à la première ...

Et on obtient alors le nouveau système :

[anthony_unac]

on soustrait chacune des trois dernières à la première ...

Et on obtient alors le nouveau système :

[samoufar]

Bonsoir,

@anthony_unac : Il manque une équation dans le système (sans quoi le triplet (1,1,1) conviendrait)

[chan79]

quelques solutions:


on peut se demander s'il y en a une infinité ou pas ...

[anthony_unac]

Voilà, c'était ce triplet là attendu (41;80;320) et que je qualifie de minimal au sens ou la valeur de "n" qu'il génère est minimal.
Bien joué mais dites moi, vous auriez trouvé la solution par le biais de l'outils informatique ?

Effectivement la question d'une infinité de triplets solution peut être posé mais je suis à mille lieux de pouvoir y apporter une réponse en bonne et due forme.

[anthony_unac]

Il manque une équation dans le système

Oui c'est assez agaçant vu comme ceci car on à l'impression de tourner en rond

[chan79]

Bien joué mais dites moi, vous auriez trouvé la solution par le biais de l'outil informatique ?

oui bien-sûr, j'ai mis les solutions constituées de nombres strictement compris entre 0 et 1000 et différents deux à deux.
sinon (a,b,c) est solution ssi il existe 4 entiers n, p, q,r tels que
a+b+c=n²
b+c=p²
c+a=q²
a+b=r²
Ce qui équivaut au système:
2n²=p²+q²+r²
a=n²-p²
b=n²-q²
c=n²-r²
n étant donné, le nombre 2n² s'écrit (en général; voir théorème des trois carrés) comme la somme de trois carrés p², q² et r². On calcule ensuite n²-p², n²-q², n²-r²
MAIS il faut trouver ces trois carrés et il faut que a, b et c soient positifs ...... difficile sans ordinateur
ex: on choisit n=27
2n²=1458
on se débrouille pour trouver 1458=20²+23²+23²
a=27²-20²=329
b=c=27²-23²=200
d'où la solution (329,200,200)

[anthony_unac]

Bonjour,
Nous trouvons les mêmes équations mais ... de la à pouvoir les résoudre à l'aide d'un papier et d'un crayon
Si quelqu'un connaît une manière de faire pour trouver le triplet minimal sans utiliser de machine et sans chercher à calculer tous les cas possibles, je suis tout ouïe.