[Equation diophantienne] Déterminer Triplets solutions

[anthony_unac]

Bonjour,
Déterminer les triplets solutions de l'équation :

(sachant que et sont des entiers naturels et un entier premier)

[MMu]

..

[anthony_unac]

Autrement dit, l'ensemble des solutions sont effectivement les triplets de la forme :

Après cette simple formalité, vous pouvez à présent passer au cas des cubes parfaits :
Déterminer les triplets solutions de l'équation :

(sachant que et sont des entiers naturels et est un entier premier)

Enfin pour les plus téméraires ayant passé haut la main le cas et , vous pouvez essayer de résoudre le cas général () :

(avec , et sont des entiers naturels et est un entier premier)

[Robot]

L'unicité de la décomposition de l'entier en facteurs premiers donne immédiatement (pour le cas général, avec ), que , est multiple de et .

[anthony_unac]

Félicitations Robot (je trouve comme vous me semble t il pour donné : avec un entier naturel.
Vous pouvez à présent passer au dernier niveau de généralisation :
avec ,, et des entiers naturels et un entier premier.

[Robot]

Pas de félicitations pour une chose aussi élémentaire !
Et la réponse pour ta dernière question (avec k>1) est tout aussi élémentaire, en utilisant la décomposition en facteurs premiers. Je la laisse.

[anthony_unac]

Je propose hâtivement que pour une base donnée (base de l'exposant et non pas base de numération) et un exposant donné, les triplets solution de l'équation sont de la forme :
avec un entier naturel
Le soucis réside dans le cas ou n'est pas premier car est imposé premier ?!

[Robot]

Bien trop hâtif :

[anthony_unac]

Bien trop hâtif :

Effectivement, dans ce cas je maintiens ma proposition quand est un nombre premier et je comprends que ça va être plus corsé lorsque est un entier non premier.

[Robot]

et premier donnés :

Les triplets solutions sont les avec
1) premier avec
2) et où et entier quelconque.