Descente infinie

[guigui51250]

Salut,

J'ai un petit problème avec la descente infinie... je ne comprend pas ce principe
Et il y a un exo pour mettre en application le principe : Résoudre dans Z l'équation

Pouvez-vous m'expliquer le principe?

[lapras]

Salut,
le principe est simple : supposes que ton équation a une solution (x_0 , y_0 , z_0)
contruit alors une solution (x_1 , y_1 , z_1) plus petite. or une suite x_n d'entier positifs ne peut etre strictement décroissante... Tu obtiens donc une contradication au fait que l'équation ai une solution.
ici tu peux regarder les division par 2...

[guigui51250]

ok donc là j'ai pair donc pair



l'équation se réécrit

est solution évidente

jusque là j'ai déjà fait mais après je ne sais pas, c'est pour ça je n'arrive toujours pas à comprendre le principe

[lapras]

Maintenant applique le meme raisonnement : y=2a
ce qui donne
2k^3+4a^3=z^3
de meme, z=2b
donc k^3 + 2a^3 = 4b^3
Oh, magie, (k,a,b) solution !

[guigui51250]

ouè c'est ce que j'essaye de faire sur mon brouillon ^^

[guigui51250]

ouè donc comme toi j'arrive à (k,n,m) solution
après il faut que je recommence pour trouver une solution plus petite c'est ça?

[Doraki]

ben nan, tu as DEJA trouvé une solution (k,n,m) plus petite que la solution de départ (x,y,z).

[guigui51250]

ah bah oui je suis bète. Et ça se "rédige" comment?

On dit soit (x_0,y_0,z_0) la plus petite solution or (k,n,m) est aussi solution et est plus petit que l'autre solution donc l'équation n'a pas de solution

??

[SimonB]

Oui : c'est une contradiction.

Aparté historique : ce principe a été utilisé pour la première fois par Fermat pour démontrer que l'aire d'un triangle rectangle à côtés entiers ne peut être un carré parfait. Il s'ensuit une démonstration facile du théorème de Fermat pour n=4 !