Des disques pour cacher les noeuds

[Imod]

Un problème pour le week-end :we:

Peut-on recouvrir tous les noeuds d'un quadrillage orthonormé infini avec des disques disjoints de rayons supérieurs ou égaux à 5 ?

Bon courage !!!

Imod

[ffpower]

Ca m etonnerait qu on puisse en tout cas..(comment ca,ca ne te suffit pas ?)

[Imod]

Ca m etonnerait qu on puisse en tout cas..(comment ca,ca ne te suffit pas ?)

Si j'osais , je dirais n.. . Le problème m'est revenu en mémoire suite à un sujet de Quidam avec des cercles tangents dans tous les sens .

Imod

[Imod]

Une petite aide :we:

Si c'était possible , on pourrait considérer trois des disques du recouvrement , les déplacer , diminuer leurs rayons pour obtenir trois disques de rayon 5cm tangents deux à deux sans point du quadrillage dans l'espace les séparant .

Imod

[nodgim]

Je crois que la meilleure solution pour couvrir un plan avec des disques est le groupement en nid d'abeilles.: 6 disques entourent un central. Reste à calculer la surface apparente interdiscale: si elle est enveloppe un carré supérieur à 1, c'est qu'au moins un point sera toujours visible.

[Imod]

Un dernier indice sous forme de deux questions :

1°) Quel est le rayon du disque que l'on peut coincer entre trois disques de rayon 5 cm et tangents deux à deux ?



2°) Quel est le rayon du plus grand disque dessiné sur un quadrillage ne contenant aucun noeud dans son intérieur ?

Imod

[nodgim]

Un dernier indice sous forme de deux questions :

1°) Quel est le rayon du disque que l'on peut coincer entre trois disques de rayon 5 cm et tangents deux à deux ?



2°) Quel est le rayon du plus grand disque dessiné sur un quadrillage ne contenant aucun noeud dans son intérieur ?

Imod

Imod, il me semble qu'il y a quelque chose de gènant dans la structure nid d'abeille (3 disques se touchent 2 à 2). Je dirais qu'un disque de rayon supérieur à 2, mais avec une mesure rationnelle, ne peut couvrir le plan....

[nodgim]

Imod, il me semble qu'il y a quelque chose de gènant dans la structure nid d'abeille (3 disques se touchent 2 à 2). Je dirais qu'un disque de rayon supérieur à 2, mais avec une mesure rationnelle, ne peut couvrir le plan....

Je veux dire: "un disque de diamètre supérieur à 2"

[Imod]

Imod, il me semble qu'il y a quelque chose de gènant dans la structure nid d'abeille (3 disques se touchent 2 à 2). Je dirais qu'un disque de rayon supérieur à 2, mais avec une mesure rationnelle, ne peut couvrir le plan....

Je ne comprends pas ce que tu veux dire :doh:

Imod

[nodgim]

Je ne comprends pas ce que tu veux dire :doh:

Imod

Je me suis mal expliqué.
Il faut plusieurs conditions pour que les disques recouvrent les points.
1) Ponctuellement, comme sur ton dessin, l'espace découvert entre les 3 disques doit être inférieur à une certaine valeur.
2) Le groupement des disques en triangle a la particularité que l'entraxe vertical entre les couches de disques est une valeur irrationnelle. Aussi, on ne peut maitriser la position verticale des points, on sait que tôt ou tard, un point occupera n'importe quelle position verticale par rapport aux disques. Et cette contrainte est plus critique que le 1) car elle définit en fait une ligne continue. C'est la raison pour laquelle je dis que, pour masquer tous les points du plan, il faut que la largeur horizontale de la fenêtre entre les 3 disques doit être inférieure ou égale à 1.
J'espère que c'est un peu plus clair.

Bien sûr, tu as raison avec le disque de diamètre 5, mais je voulais dire qu'il faut descendre à une taille bien plus basse pour couvrir le plan.

[Imod]

D'accord , je vois ce que tu veux dire mais c'est un autre problème :we:

Ici les cercles ont des rayons à priori différents et rationnels , algébriques ou transcendants ... peu importe . On peut sûrement faire bien mieux qu'un rayon 5 mais je ne vois pas de preuve facile .

Imod

[Imod]

Un petit up :++:

Si personne ne s'y colle je donne la réponse la semaine prochaine .

Imod

[Imod]

Si c'était possible , on pourrait considérer trois des disques du recouvrement , les déplacer , diminuer leurs rayons pour obtenir trois disques de rayon 5cm tangents deux à deux sans point du quadrillage dans l'espace les séparant .

En voulant rédiger la solution je me suis interrogé sur cette affirmation ( oui je parle tout seul :dingue2: ) . Pour les tangentes pas de problème mais pour le 5 cm je ne suis plus convaincu . Si on se contente des cercles tangents j'ai une autre démo bien plus lourde , alors , 5 cm ou pas 5 cm ?

Imod

[nodgim]

Il me semble que ça marche bien pour des disques tangents de diamètre 2cm, mais plus au dela....

[Imod]

Il me semble que ça marche bien pour des disques tangents de diamètre 2cm, mais plus au dela....

Tout le problème c'est de le prouver :zen:

Imod