Des décimaux aux irrationnels

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nodgim
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Des décimaux aux irrationnels

par nodgim » 11 Nov 2016, 11:27

Bonjour à tous.
Un curieux paradoxe avec l'infini.

Si on remplit le segment [0,1[ avec les seuls nombres décimaux (c'est à dire ceux dont l'écriture décimale est finie) on recouvre les irrationnels. En effet, on pourra toujours choisir un décimal tel que, pour un epsilon donné et un irrationnel donné, la différence entre le décimal et l'irrationnel sera inférieure à epsilon.

Où est l'erreur ?

Je n'ai pas la réponse



Doraki
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Re: Des décimaux aux irrationnels

par Doraki » 11 Nov 2016, 11:36

?????????

A part une utilisation très très bizarre des mots "remplir" et "recouvrir" (qui n'ont pas tellement de sens précis dans ce contexte) alors que tu pourrais à la place dire "les décimaux sont denses dans [0;1[" comme tous les autres matheux, je ne vois pas de problème ?

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Re: Des décimaux aux irrationnels

par nodgim » 11 Nov 2016, 12:57

Salut Doraki.
Exprimé autrement : existe t'il des points dans l'intervalle non atteints par les décimaux ?

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Re: Des décimaux aux irrationnels

par Doraki » 11 Nov 2016, 13:02

Ah tu joues au jeu où tu remplaces un mot qui n'a pas de sens précis par un autre mot qui n'a pas de sens précis non plus ?

Je peux jouer aussi tiens, si je te demande ce que veut dire "atteints" tu vas me répondre que "existe-t-il des points dans l'intervalle non atteints par les décimaux ?" ça veut dire en vrai
"est-ce que les décimaux farcissent intégralement l'intervalle" ?

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Re: Des décimaux aux irrationnels

par nodgim » 11 Nov 2016, 13:48

D'accord.
Peut être la question: "Quelle est la densité des nombres décimaux dans R ? " a t-elle plus de sens ?

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Re: Des décimaux aux irrationnels

par Doraki » 11 Nov 2016, 14:40

?? ou bien ils sont denses dans R ou bien ils sont pas denses dans R.

"Quelle est la densité de ..." ça a plutot tendance à demander une réponse sous forme de mesure (par exemple les enters pairs sont de densité 1/2 dans N), mais là j'vois pas trop ce que ça pourrait vouloir dire.

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Re: Des décimaux aux irrationnels

par beagle » 11 Nov 2016, 15:32

Doraki a écrit:?? ou bien ils sont denses dans R ou bien ils sont pas denses dans R.

"Quelle est la densité de ..." ça a plutot tendance à demander une réponse sous forme de mesure (par exemple les enters pairs sont de densité 1/2 dans N), mais là j'vois pas trop ce que ça pourrait vouloir dire.


ptètre que la définition de "ètre dense dans" n'est pas connu.
de moi c'est sur, nodgim je sais pas ...

alors:
"Soit E un espace topologique (métrique ou non) et A une de ses parties, on a :

A dense dans E <=> tout ouvert non vide de E rencontre A"

ou
"" D est dense dans R " signifie que :
pour tout réel a et b, il existe un nombre décimal dans l'intervalle ]a,b[ "
L'important est de savoir quoi faire lorsqu'il n' y a rien à faire.

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Re: Des décimaux aux irrationnels

par chan79 » 11 Nov 2016, 17:17

nodgim a écrit: existe t'il des points dans l'intervalle non atteints par les décimaux ?

oui, pi/4

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Re: Des décimaux aux irrationnels

par nodgim » 11 Nov 2016, 19:56

@ Chan79 : Pi / 4 = 0,7853981634.....
La suite des nombres décimaux qui approchent ce nombre sont:
0,7
0,78
0,785
et ainsi de suite à l'infini.
Alors comment peut on savoir que ce nombre n'est pas atteint, puisque toutes ses décimales seront atteintes, non pas par un nombre décimal, mais par une infinité d'entre eux ?

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Re: Des décimaux aux irrationnels

par Doraki » 11 Nov 2016, 21:01

C'est pas LA suite, c'est UNE suite qui approche pi/4.

si "atteint" ça veut dire "être un nombre décimal", alors non, pi/4 n'est pas atteint (et on en est sûr et certain parcequ'on a des preuves de l'irrationalité de pi)
si "atteint" ça veut dire "être limite d'une suite de nombres décimaux" alors oui, pi/4, comme n'importe quel autre nombre réel, est atteint par les nombres décimaux.
Comme tu refuses obstinément de dire ce que atteint veut dire, ben t'as plus qu'à ne pas lire et à sauter ce que j'ai écrit pour ne pas révéler le sens de atteint.

D'ailleurs il y a des exemples plus simples d'existence de nombres réels qui ne sont pas décimaux.

Par exemple 1/3 n'est pas décimal, parceque s'il l'était on aurait 1/3 = a/10^b avec a et b entiers, donc 3a = 10^b donc 3 divise 10^b. Or, 10^b = (3*3+1)^b = 3*un gros truc + 1 et donc 3 divise 1, contradiction.

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Re: Des décimaux aux irrationnels

par nodgim » 11 Nov 2016, 21:38

Oui, Doraki, atteint dans le sens de limite. Du coup, tu me donnes en même temps la réponse.

J'imagine bien par exemple le nombre à écriture décimale illimitée comme un coureur de fond qui ne s'arrête jamais, alors que les décimaux sont des coureurs qui ne font qu'un bout de chemin, mais qu'il y en a toujours 1 pour prendre le relais et courir dans la trace du champion. Aussi, je ne vois pas vraiment de différence sur la destinée du champion et sur celle des relayeurs. Mais bon, les maths, c'est pas un stade.

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Re: Des décimaux aux irrationnels

par Ben314 » 12 Nov 2016, 14:33

Pourtant, la différence entre les deux, elle est évidente :
- Dans un cas c'est du fini, donc un truc on ne peut plus "concret" sur lequel on peut plus ou moins raisonner "intuitivement" sans de trop gros risque d'erreurs.
- Alors que dans l'autre cas, c'est de l'infini, c'est à dire un truc pas concret du tout qu'on ne peut manipuler que comme une "vue de l'esprit" et qui demande donc des définition extrêmement rigoureuses si on veut pas écrire d'énormes c...
Et sur un tel truc, il faut clairement s'attendre à avoir des résultats pas intuitifs du tout vu que "dans la vie de tout les jours" (="au niveau intuitif"), il est bien clair qu'on ne manipule absolument jamais quoi que ce soit d'infini donc on ne risque pas "d'intuiter" quoi que ce soit concernant l'infini. Au mieux, à force de le manipuler avec les définitions mathématiques sérieuses qui le concerne, on finit par s'habituer aux propriétés qu'il a (et qu'il n'a pas).

Pour prendre LE exemple dont on vient de parler plusieurs fois, il me semble clair que le fait que certains réels admettent deux "écritures décimales infinies", ben c'est pas trop intuitif...

Et sinon, pour reprendre le sujet de départ concernant les décimaux, le fait que :
1) Il y ait "beaucoup moins" de décimaux que des réels dans le sens qu'il n'y a pas de bijection des décimaux sur les réels alors qu'il existe par exemple une bijection de N sur Q^2 qui pourtant semble intuitivement "bien plus gros" que N.
2) Mais que d'un autre coté on puisse approcher aussi précisément qu'on veut un réel quelconque par un décimal (ce qui donne un peu l'impression que des décimaux, il y en a quand même "un gros paquet" vu qu'ils suffisent à approximer tout les réels).
Et ben au début, c'est pas super facile de voir "intuitivement" ce que ça signifie et on peut se demander pendant longtemps si, au fond, il y en a "beaucoup" ou " pas beaucoup" des décimaux dans R ?
Et on finit par comprendre ce que te dit Doraki depuis le premier post, c'est à dire que dans un tel contexte, si on utilise un mot tel que "beaucoup" qui n'a pas de sens "carré carré" en mathématique, mais uniquement un sens "intuitif", ben on ne risque pas d'avoir de réponse à la question.
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Re: Des décimaux aux irrationnels

par nodgim » 12 Nov 2016, 15:59

Oui Ben.
En fait, l'ambiguïté que je cherche à lever est plus profonde.
Pour reprendre l'exemple des coureurs, il y a au départ le coureur Pi/4 et l'essaim de tous les coureurs décimaux. Il est évident que chaque coureur décimal s'arrêtera à un moment ou à un autre, mais que l'essaim des coureurs décimaux (il y en a une infinité la dedans) ne s'arrêtera jamais. Aussi, c'est l'ensemble des décimaux qui a la propriété de suivre Pi/4 infiniment, et non pas un coureur individuel. C'est la raison pour laquelle j'avançais que l'ensemble des décimaux était capable de rejoindre n'importe quel point, bien qu'aucun d'entre eux ne puisse le faire individuellement (rejoindre dans le sens d'égalité ).

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Re: Des décimaux aux irrationnels

par nodgim » 16 Nov 2016, 10:55

En fait, je viens de comprendre qu'en écrivant la suite des décimaux :
0,3
0,33
0,333
.....
Je n'atteindrai jamais exactement 1/3. En effet, si je pouvais l'atteindre, ce serait le dernier décimal de la liste, ce qui serait contradictoire avec l'infinité de la liste. Du coup, l'infinité de la liste, qui a le même cardinal que le nombre de chiffres des décimaux (au énième décimal, on trouve n fois 3) est plus petit que l'infinité des 3 contenus dans 1/3. Étonnant, non ?

Du coup je me demande si, en écrivant :
0,3 33 333 3333 33333 333333......(c'est à dire en concaténant tous les décimaux en un seul nombre)
je peux atteindre réellement 1/3. N'y a t'il pas une différence entre une infinité de fuite (jamais de dernier chiffre) et une infinité de fait ( infinité déclarée comme telle ) ?

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Re: Des décimaux aux irrationnels

par Ben314 » 16 Nov 2016, 13:35

De nouveau, à mon sens, là où le "bât blesse", c'est que tu veut raisonner plus ou moins "intuitivement" avec un truc qui parle d'infini, c'est à dire avec 0,33333... avec une infinité de 3 après la virgule.
Alors que la seule et unique façon raisonnable de manipuler un tel truc, c'est d'en donner une définition archi- rigoureuse. Cette définition archi rigoureuse étant bien entendu que, par définition, x=0.3333... c'est la limite lorsque n tend vers l'infini de xn=0.333....3 avec n fois le chiffre 3 après la virgule.
Et évidement, il faut aussi avoir une définition archi rigoureuse de ce que signifie "la limite quand n tend vers l'infini de xn" (cette dernière étant bien entendu le fameux "pour tout epsilon>0, il existe N tel que...").

Arrivé à ce point là (et surement pas avant), tu peut te poser la question de savoir si x=0.333.... est égal ou pas à 1/3 et la réponse n'est pas super compliquée :
xn=3.10^-1+3.10^-2+...+3.10^-n est la somme des n premier termes d'une suite géométrique (de raison 10^-1) et on en déduit que et les règles élémentaires de calculs sur les limites (qu'on démontre de façon rigoureuse en partant de la définition) montrent alors que .
On peut évidement procéder de façon différente, par exemple en écrivant que 10x=3.333....=3+x donc que 9x=3 puis que x=3/9.
Mais, il faut absolument avoir préalablement démontré proprement et avec les définitions que, si alors (ce qui n'est pas difficile) et surement pas affirmer que "c'est évident" (avec l'infini, absolument rien n'est "évident" vu que l'infini c'est une "vue de l'esprit" et pas un truc concret)

Et évidement, le pire du pire de tout, ça serait d'affirmer que est "évident" sans même avoir donné de définition rigoureuse de ce qu'est c'est à dire sans même avoir donné de sens au résultat qu'on prétend être "évident" (le truc est sensé être "évident", mais en fait... on ne sait même pas ce qu'il veut dire... :pleur4: )

Et pour en revenir au fameux leitmotiv "est-ce que 0.99999....=1 ?" tu y retrouve très exactement le problème : tout ceux qui posent la question n'ont aucune définition concernant ce que désigne le 0.9999... de la formule et, visiblement, ils ne se rendent pas compte que, si un objet n'est pas défini (clairement), ben on ne risque pas ni de confirmer, ni d'infirmer une proposition concernant l'objet en question !!!!
Bref, "est-ce que 0.99999....=1 ?" c'est ni mieux, ni pire que "est-ce qu'un turlututu est rouge ?" : pour (tenter de) répondre, ben faut évidement commencer par répondre à la question "c'est quoi un turlututu ?".
(cette idée du turlututu rouge, faut que je la garde en mémoire pour le prochain qui va poser la question "est ce que 0.999...=1" : ça me semble pas con du tout comme analogie...)
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Re: Des décimaux aux irrationnels

par nodgim » 16 Nov 2016, 15:27

Entièrement d'accord avec la définition exacte de la limite que tu rappelles , Ben.
Maintenant, 1/3, en version décimale, ça vaut bien 0,333...., les points de suspension signifiant implicitement que ça ne s'arrête pas. Ce nombre est, de construction, ainsi fait. Ce que je tente de démontrer, c'est qu'on ne peut pas reproduire cette construction en se contentant d'écrire tous les 3 à la queue leu leu.

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Re: Des décimaux aux irrationnels

par beagle » 16 Nov 2016, 15:53

"Ce que je tente de démontrer, c'est qu'on ne peut pas reproduire cette construction en se contentant d'écrire tous les 3 à la queue leu leu."
Comme dans les paradoxes de Zénon, la flèche n'atteint pas son but, le lièvre ne rattrape pas la tortue,etc...
Si tu vas toi même écrire les 3 après la virgule, en effet c'est difficile à reproduire.
Et pourtant la flèche atteint son but ...
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Re: Des décimaux aux irrationnels

par Ben314 » 16 Nov 2016, 19:23

nodgim a écrit:Maintenant, 1/3, en version décimale, ça vaut bien 0,333...., les points de suspension signifiant implicitement que ça ne s'arrête pas.
A mon sens (archi bourbakiste), rien que ça, tu ne peut pas l'écrire.
Tant que tu n'as défini que la notion de décimal, c'est à dire de nombre avec un nombre fini de décimale, tout ce que tu peut dire (et démontrer), c'est que 1/3 n'est pas un décimal et donc qu'il n'admet pas d'écriture décimale.
Si tu effectue la division de 1 par 3 comme on le fait au primaire, le vrai truc que tu constate rapidement, c'est que tu n'obtiendra jamais un reste égal à zéro et, à mon sens, c'est un pur "acte de fois" que de considérer que, en continuant "indéfiniment" à faire la division (ce qui est évidement impossible), on aurait "au final" (ce qui ne veut absolument rien dire, il n'y a pas de "fin" à l'infini) une valeur exacte.
On pourrait même dire qu'au fond, c'est plutôt "contre intuitif" : vu qu'en fait le reste de la division est constamment égal à 1, comment est-il possible que, "en passant à l'infini", il devienne soudainement égal à zéro ???

Bref, pour moi, quand on pose la division de 1 par 3, tout ce qu'on peut dire, c'est que, aussi loin qu'on aille on obtient des quotients égaux à 3 et un reste égal à 1, c'est à dire que ça ne tombe jamais rond. Tout ce qu'on pourrait dire de plus, particulièrement concernant ce qu'il serait "sensé" se passer si on pouvait continuer "à l'infini" à diviser, c'est du "pur imaginaire" et ça n'a rien a voir avec des maths vu qu'on parle de trucs super compliqués (l'infini) avec aucune définition les concernant.
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Re: Des décimaux aux irrationnels

par nodgim » 16 Nov 2016, 19:46

Ben314 a écrit:
Bref, pour moi, quand on pose la division de 1 par 3, tout ce qu'on peut dire, c'est que, aussi loin qu'on aille on obtient des quotients égaux à 3 et un reste égal à 1, c'est à dire que ça ne tombe jamais rond. Tout ce qu'on pourrait dire de plus, particulièrement concernant ce qu'il serait "sensé" se passer si on pouvait continuer "à l'infini" à diviser, c'est du "pur imaginaire" et ça n'a rien a voir avec des maths vu qu'on parle de trucs super compliqués (l'infini) avec aucune définition les concernant.


Là, tu as sans doute raison, mais tu vas loin. Un algorithme qui se boucle sur lui même à l'identique (division, reste), on peut raisonnable penser qu'il ne va pas faire autre chose tant que les conditions de calcul sont identiques. ça me semble quand même être un peu plus que de l'intuition. On peut même dire que c'est de la récurrence, non ?

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Re: Des décimaux aux irrationnels

par Ben314 » 16 Nov 2016, 20:15

nodgim a écrit:Là, tu as sans doute raison, mais tu vas loin. Un algorithme qui se boucle sur lui même à l'identique (division, reste), on peut raisonnable penser qu'il ne va pas faire autre chose tant que les conditions de calcul sont identiques. ça me semble quand même être un peu plus que de l'intuition. On peut même dire que c'est de la récurrence, non ?
Si c'est pour dire que l'algo. de division "tourne en rond", ça je suis 100% d'accord.
Et au niveau du fait que c'est une récurrence, idem.
Sauf qu'une récurrence, ce que ça démontre, c'est que, pour tout entier n, on a ... et que ce ne dit absolument rien concernant un "plus qu'éventuel" n qui serait égal à l'infini.
De même, l'algo. tourne en rond, et je suis pas du tout sûr qu'un informaticien raisonnable regardant une boucle sans fin tourner sur sa machine se pose une quelconque question du style "si j'attendais la fin de la boucle (donc un temps infini...), ça donnerais quoi à la sortie ?". A mon avis, c'est déjà un "pur acte de fois" de penser qu'au bout d'un "temps infini", la boucle finira par s'arrêter : déjà que ça veut rien dire "un temps infini", pourquoi diable, au bout de ce temps (qui ne veut rien dire) la boucle ne continuerais-elle pas à tourner en rond ?
Ensuite, pour interpréter l'éventuel résultat que donnerais la boucle lors de sa sortie (donc après un temps infini vu qu'elle tourne en rond), ben je pense que ce qu'il faut surtout... c'est de l'imagination... (et pas
du tout du rationnel).
Pour te donner un exemple parmi les plus con, si avant la boucle on met X=1 puis dans la boucle (infinie) on met X=-X, lorsqu'elle s'arrêtera (aprés un temps infini), y'aura quoi dans X ?
Et je le redit, en plus, dans le cas de la division de 1 par 3, dans la boucle, tu as systématiquement Reste=1 donc un quotient qui n'est jamais égal à 1/3. Comment tu explique que, à la "fin" de ta "boucle infinie", soudainement le quotient soit égal au 1/3 alors que justement, c'est faux à chaque étape de la boucle : pour tout n et , ça te semble raisonnable intuitivement parlant ?
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