Densité sur ]0,1[ d'une suite récurrente

[MClerc]

Pour un problème d'optimisation numérique, j'ai été amené à définir un générateur de nombres pseudo-aléatoires très simple.
Soit {u} la partie fractionnaire du nombre réel u.
On part d'une "graine" alpha > 1.
Le premier nombre généré est r(1)={alpha}.
Ensuite r(t+1)={alpha*r(t)}

À noter que cette suite n'est pas équivalente à la classique {alpha^n}. D'ailleurs, expérimentalement, elle n'est pas tout à fait équidistribuée.
J'ai pu démontrer que si alpha est transcendant (par exemple égal à pi) la suite est infinie (si alpha n'est "que" irrationnel, elle est cyclique).

Mais je voudrais surtout prouver qu'elle est dense sur ]0,1[. J'ai essayé diverses approches en m'inspirant de celles utilisées pour le théorème de Weyl, par exemple le fait qu'il existe une infinité de nombres p et q premiers entre eux tels que |alpha*p - q | < 1/q, mais ça coince.

Merci d'avance pour toute aide sur ce point.

[Ben314]

Salut,

Le problème me semble trés interessant (je regarderais de plus prés ce tantôt), mais là où je sais pas trop de quoi il retourne, c'est au cas où tu veuille implémenter ton générateur sur une machine qui (me semble t'il) va forcément utiliser des nombres "flottants" avec une certaine précision et cette précision va rentrer (lourdement à mon avis) en jeu lorsque tu génère une grande série aléatoire...

Donc sur le truc théorique, c'est marrant, mais je sais pas si il n'y a pas des tonnes de trucs en plus à regarder pour savoir si ça a de l'utilité pratique (moi, je m'en fout, y'a que la théorie qui m'intéresse... :ptdr: )

[MClerc]

En fait, c'est déjà implémenté et ça marche plutôt bien pour des optimisations dites "stochastiques" (en tout cas pas plus mal que la méthode Mersenne-twister, qui est nettement plus compliquée). Une des applications possibles est son utilisation pour des micro-robots qui ont une mémoire très petite et une puissance de calcul très faible, auquel cas, oui, les séquences de grande taille ne sont de toute façon pas possibles.

Mais je suis en train d'écrire un petit rapport technique, et ce serait néanmoins plus élégant si je pouvais le compléter par des preuves formelles et pas seulement des illustration expérimentales.

Merci d'y consacrer un peu de temps, mes années de Math Spé sont bien loin !

Allez, une autre pour le plaisir :
r(1)=alpha
r(t+1)={(alpha+r(t))^beta}
Avec, par exemple, alpha=pi et beta=5, la séquence semble en plus être équidistribuée.

Salut,

Le problème me semble trés interessant (je regarderais de plus prés ce tantôt), mais là où je sais pas trop de quoi il retourne, c'est au cas où tu veuille implémenter ton générateur sur une machine qui (me semble t'il) va forcément utiliser des nombres "flottants" avec une certaine précision et cette précision va rentrer (lourdement à mon avis) en jeu lorsque tu génère une grande série aléatoire...

Donc sur le truc théorique, c'est marrant, mais je sais pas si il n'y a pas des tonnes de trucs en plus à regarder pour savoir si ça a de l'utilité pratique (moi, je m'en fout, y'a que la théorie qui m'intéresse... :ptdr: )