Densité sur [0, 1]

[Zweig]

Salut,

On considère la suite , avec .

Montrer que les valeurs de la suite sont denses dans .

On montre aussi que cette suite est équidistribuée sur , i.e, si on choisit et que l'on note le nombre de termes , , qui se trouvent dans , alors

[CENTER][/CENTER]

Voir le critère de Weyl : http://moduloserge.free.fr/HX1-05/DM/dm15%28Weyl%29.pdf

[Finrod]

Il me semble avoir vu passé la question sur le forum déjà mais je n'ai pas le courage de retrouver ça.

C'est une sous-groupe de R modulo 1, donc à priori c'est soit discret soit dense. En supposant un minimum par l'absurde, on doit le trouver dense.

[Nightmare]

Salut,

tu peux montrer que l'équirépartition de la suite est équivalent au fait que pour toute fonction continue f, (Disons qu'on l'admet provisoirement parce que ... je n'arrive plus à le démontrer :euh:)

Ceci dit, il suffit donc de montrer que pour toute fonction continue f,

Ca marche par étape : Vrai pour les polynômes trigonométriques (vérifier en posant ). Vrai du coup par densité pour toutes les fonctions continues prenant la même valeur en 0 et en 1. Reste à généraliser à toutes les fonctions continues, suffit des les approcher correctement par des fonctions qui prennent la même valeur en 0 et 1. Je te laisse mettre ça au propre.

[Doraki]

J'dirais plutot que pour toute fonction f continue et 1-périodique,

comme ça on s'embête pas avec la partie entière.

si ça fait
donc ça marche.