Dénombrement d'infinis

[Ben314]

Perso, vu les changement successifs d'énoncé et, de façon fréquentes dans tout les premiers posts les +1 qui deviennent par magie des -1, j'ai toujours pas capté ce qu'il falait montrer...

Serait-il possible de mettre un énoncé complet, clair (et juste) pour que je puisse chercher ?

[miikou]

salut

désolé cest ma faute j'avais lu de travers

On considere les nombres de la forme 2^2^n+1, on note E cet ensemble
On considere les diviseurs premiers des ces nombre, on note F cet ensemble

quel est le plus gros ensemble ?

( on a biensur F>E pour la raison que les 2^2^n+1 sont premiers entre eux, donc a chaqun on peut associer au moins 1 premier commun a aucun autre, d'ou l'injection )

[miikou]

Bon a priori doraki n'est tjs pa convaincu alors j'abandonne ma preuve ( juste :we: ) et j'en donne une autre moins arithmetique

Fn+1 - 2 = Fn*Fn-1* ... F0 (I)

soit n>m

(I) => Fn=qFm +2

=> pgcd( Fn,Fm) = pgcd (Fn,2) or Fn est impaire donc PGCD=1

donc premiers entre eux, donc ....

[Ben314]

Vu l'énoncé, effectivement, il n'y a pas grand chose à démontrer :
Comme E et F sont contenus dans N, il sont au plus dénombrables.
E est clairement infini donc il suffit de montrer que F est infini pour avoir le résultat.
Effectivement, par exemple le fait que pgcd(Fn,Fm)=1 implique trivialement que F est infini.

[miikou]

oui c'était bien l'idée des le debut, seulement ma preuve a l'aide de la forme des diviseurs n'a pas l'air de bien convaincre

[nodjim]

L'idée de départ de la question est l'étude de la suite:
U0=2 et U(n+1)=Un² modulo un nombre p premier avec 2.
Or cette suite est l'ensemble des nombres de la forme 2^(2^n).
Quand on tombe sur (-1) modulo p, on tient un diviseur p d'un Fermat, mais le suivant de la suite est un (+1) car(-1)²=+1 et tous ceux qui suivent également. Donc p divise les 2^(2^k)-1 quand k>n, ces nombres faisant partie de l'ensemble des nombres de Mersenne.