Soit 3 entiers naturels x, y et z avec 0 < x < y < z et x, y et z premiers entre eux.
On suppose z^n = x^n + y^n
On montre facilement que z < x + y car si z > x + y cela entrainerait z^n > (x+y)^n > x^n + y^n
donc z^n > x^n + y^n ce qui est contraire à notre hypothèse de base.
On part de l'hypothèse précédente z^p = x^p + y^p avec p premier impair et supérieur à 3.
On sait que suivant l'identité remarquable nous avons :
..................................... k=n-1
x^n + y^n = (x + y) Σ [(-1)^k . x^(n-1-k) . y^k)] ......................................... eq. 1
.................................... k=0
Comme z < x + y cela signifie qu'il existe un entier naturel α tel que z + α = x + y.
L'équation 1 devient :
....................................... k=n-1
x^n + y^n = (z + α) . Σ [(-1)^k . x^(n-1-k) . y^k)] ......................................... eq. 2
........................................ k=0
Puisque z^p = x^p + y^p on aura
........................... k=p-1
z^p = (z + α) . Σ [(-1)^k . x^(p-1-k) . y^k)] ......................................... eq. 3
.......................... k=0
Ce qui permet de dire que
k=p-1
Σ [(-1)^k . x^(p-1-k) . y^k)] < z^(p-1) ......................................... eq. 4
k=0
Il existe donc un entier naturel β tel que
k=p-1
Σ [(-1)^k . x^(p-1-k) . y^k)] = z^(p-1) - β .......................................... eq. 5
k=0
Par conséquent il existe deux entiers naturels α et β tels que :
z^p = (z + α) . (z^(p-1) - β ) ........................................ eq. 6
Si on développe l'équation 6 on trouve
z^p = z^p + α.(z^(p-1)) - β.z - α.β
Soit α.(z^(p-1)) - β.z - α.β = 0 ............................. eq. 7
Comme x = 0 , y = 1 et z = 1 est une solution de l'équation z^p = x^p + y^p cela veut dire que ces valeurs de x, y et z vérifient l'équation 7 quel que soit p premier impair.
Donc α - β - α.β = 0 ......................................... eq. 8
ce qui est équivalent a α = β/(1-β)
Comme α et β sont des entiers naturels, l'unique solution de cette équation est α = 0 et β = 0
Ce qui revient à dire que z = x + y puisque α = 0 .
En partant de z^p = x^p + y^p on aboutit à z = x + y ce qui est impossible car on a démontré au début que
z < x + y (pour x, y et z non nuls et p > 3) .
Par conséquent il n'existe aucune solution à l'équation z^p = x^p + y^p (avec p premier impair) exceptée la solution triviale (x = 0 , y =1 et z = 1).
C Q F D
Notons que Fermat a démontré que si p = 4 il n'y a pas de solution pour l'équation z^p = x^p + y^p ce qui est valable par extension a toutes les puissances paires.
-----------------------------fin de la démonstration -----------------------------------------