Démonstration très simple du grand théorème de Fermat

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ottapponne
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Démonstration très simple du grand théorème de Fermat

par ottapponne » 13 Oct 2022, 00:30

Soit 3 entiers naturels x, y et z avec 0 < x < y < z et x, y et z premiers entre eux.

On suppose z^n = x^n + y^n

On montre facilement que z < x + y car si z > x + y cela entrainerait z^n > (x+y)^n > x^n + y^n
donc z^n > x^n + y^n ce qui est contraire à notre hypothèse de base.

On part de l'hypothèse précédente z^p = x^p + y^p avec p premier impair et supérieur à 3.

On sait que suivant l'identité remarquable nous avons :

..................................... k=n-1
x^n + y^n = (x + y) Σ [(-1)^k . x^(n-1-k) . y^k)] ......................................... eq. 1
.................................... k=0
Comme z < x + y cela signifie qu'il existe un entier naturel α tel que z + α = x + y.

L'équation 1 devient :
....................................... k=n-1
x^n + y^n = (z + α) . Σ [(-1)^k . x^(n-1-k) . y^k)] ......................................... eq. 2
........................................ k=0

Puisque z^p = x^p + y^p on aura

........................... k=p-1
z^p = (z + α) . Σ [(-1)^k . x^(p-1-k) . y^k)] ......................................... eq. 3
.......................... k=0

Ce qui permet de dire que
k=p-1
Σ [(-1)^k . x^(p-1-k) . y^k)] < z^(p-1) ......................................... eq. 4
k=0
Il existe donc un entier naturel β tel que
k=p-1
Σ [(-1)^k . x^(p-1-k) . y^k)] = z^(p-1) - β .......................................... eq. 5
k=0

Par conséquent il existe deux entiers naturels α et β tels que :

z^p = (z + α) . (z^(p-1) - β ) ........................................ eq. 6

Si on développe l'équation 6 on trouve

z^p = z^p + α.(z^(p-1)) - β.z - α.β

Soit α.(z^(p-1)) - β.z - α.β = 0 ............................. eq. 7

Comme x = 0 , y = 1 et z = 1 est une solution de l'équation z^p = x^p + y^p cela veut dire que ces valeurs de x, y et z vérifient l'équation 7 quel que soit p premier impair.

Donc α - β - α.β = 0 ......................................... eq. 8

ce qui est équivalent a α = β/(1-β)

Comme α et β sont des entiers naturels, l'unique solution de cette équation est α = 0 et β = 0

Ce qui revient à dire que z = x + y puisque α = 0 .

En partant de z^p = x^p + y^p on aboutit à z = x + y ce qui est impossible car on a démontré au début que
z < x + y (pour x, y et z non nuls et p > 3) .

Par conséquent il n'existe aucune solution à l'équation z^p = x^p + y^p (avec p premier impair) exceptée la solution triviale (x = 0 , y =1 et z = 1).

C Q F D

Notons que Fermat a démontré que si p = 4 il n'y a pas de solution pour l'équation z^p = x^p + y^p ce qui est valable par extension a toutes les puissances paires.

-----------------------------fin de la démonstration -----------------------------------------



issoram
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Re: Démonstration très simple du grand théorème de Fermat

par issoram » 13 Oct 2022, 13:47

Le théorème s'appelle désormais théorème de Fermat-Wiles.
Et ce n'est pas pour rien: Il a fallu 8 ans de recherche acharnée et de haute volée, du grand mathématicien Andrew Wiles, pour venir à bout de la démonstration. Il recevra (entre autres) le prix Abel pour cette démonstration et tous les travaux relatifs à cette dernière.
Donc vu le titre de ton post et ce qui précède, peu d'entre nous lirons ta démonstration.

GaBuZoMeu
Habitué(e)
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Enregistré le: 05 Mai 2019, 11:07

Re: Démonstration très simple du grand théorème de Fermat

par GaBuZoMeu » 14 Oct 2022, 14:42

Bonjour,
Grosse erreur de raisonnement pour l'obtention de l'équation 8. Tes et dépendent bien sûr de . Ceux que tu obtiens pour ne peuvent donc pas servir pour d'autres .
Ce qu'il y a de bien, c'est que tu décris clairement et simplement ta démarche. Ce n'est donc pas difficile ni très prenant de trouver le faux pas qui fiche tout par terre.
Il était clair depuis le début qu'il y avait erreur, pour les raisons indiquées par Issoram.

 

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