Démonstration de l'infinité des nombres premiers

[eusebe78]

Arithmétique: Euclide fut le premier à démontrer l'infinité des nombres premiers.
Je vous propose de retrouver cette démo pour faire honneur à Euclide.

Indice: 1.Raisonner par l'absurde 2.Créer un entier particulier (tout entier >=2 admet un diviseur premier)


Réponse:
Supposons que l'ensemble P des nombres premiers soit finies,
c'est à dire P={p_1, p_2, ..., p_r} ( r nombres premiers).

Créons l'entier n=p_1p_2...p_r +1. Cet entier admet un diviseur premier p car il est supérieur ou égal à 2 (théorème).

Or, p appartient à P, donc p divise p_1p_2...p_r. Donc p divise aussi
(n-p_1p_2...p_r) qui est égal à 1. Absurde (1 n'est pas divisible par p).

D'où P est un ensemble infini.

La vérité est cachée au fond du puits

Démocrite d'Abdère, philosophe grec du Vème siècle avant J.C.

[Ben314]

Salut,
Juste quelque petites remarque concernant la formulation :

- Ce que Euclide dit précisément (la proposition 20 du livre IX) c'est :
Les nombres premiers sont plus nombreux que n'importe quelle multitude de nombres premiers proposée
Phrase qui ne parle évidement pas "d'ensemble infini" vu qu'à l'époque (et pendant les 2 millénaires qui ont suivis) aucun mathématicien ne parlait d'infini du fait des multiples paradoxes qui en découlent.

- Et pour remplacer Leon (*) il faut aussi préciser que, bien qu'elle soit "presque" identique à celle présentée çi dessus, sa preuve ne procède pas "par l'absurde" : il montre que, quelque soit l'ensemble fini de nombre premier qu'on se donne, on pourra toujours trouver un nombre premier ne faisant pas partie cet ensemble (ce qui correspond précisément à la façon dont il formule le résultat et à la notion dite d'infini potentiel : "si besoin est, je peut toujours en trouver un de plus")

(*) Ancien membre du Forum qui était très "anti preuve par l'absurde"...

[eusebe78]

Merci pour cette correction. J'ai tirée la démonstration du livre "Raisonnements divins" du mathématicien Erdos

[Ben314]

J'appellerais pas ça des "correction" mais des "petites remarques" :
Avec le point de vue moderne sur les mathématiques, ça semble totalement équivalent de dire "on peut toujours en trouver un de plus" ou dire "il y en a une infinité" et la preuve "par l'absurde" et celle "directe" sont fondamentalement exactement les mêmes, c'est "l'enrobage" qui change.
L'objectif étant uniquement de signaler que, historiquement parlant, Euclide n'aurait jamais dit que "quelque chose est infini" tellement le mot était "tabou" du fait des multiples paradoxes sous-jacent.
Par contre, je sais pas quel point de vue avait les grecs concernant les preuves par l'absurde qui, à certaines époques et dans certaine contrées ont été (à juste titre) considéré comme "moins valable" que les preuves directes.

[LittleEuler]

Bonjour Il existe autres démonstration avec les nombres de Fermat,Mersenne....
Ce type de démo se base sur le fait que les termes de la suite sont premiers deux à deux je t'invite a chercher