Demi-tour

[Imod]

Je comprends bien l'idée du tore mais je vois mal comment tu obtiens la longueur de l'aiguille . J'ai des résultats pratiquement équivalents , il y a peut-être quelques différences aux sauts de pente ( je n'ai pas vérifié ) . Voilà ce que j'ai trouvé de façon complètement empirique donc sans justification .

1°) Le point de frottement de la plus grande aiguille est réalisé pour une pente de l'aiguille de la forme 1/q ou q est le plus grand entier de même parité que n et tel que

2°) La longueur de l'aiguille est alors donnée par

Imod

[Ben314]

...la plus petite des valeur de où .

La longueur de l'aiguille est où maxi. tel que

La formule pour la longueur de l'aiguille, c'est bien la même : .
Et la condition, qui correspond à chercher le min. de pour et/ou , c'est la même :
- Ma condition correspond au fat que change de signe en .
- La tienne, au fait que (sauf erreur)

[Imod]

Oui , les conditions sont les mêmes et j'ai obtenu les miennes en extrapolant à partir d'une liste des meilleures aiguilles pour des bandes de largeur 1 à 60 . Je n'arrive toujours pas à voir comment tu as obtenu les tiennes à partir du tore et ça m'agace un peu

Imod

[Ben314]

Avec le tore, ce que je regarde, c'est les droites où on peut regarder comme étant une valeur "modulo 1" (1) vu que translater une droite de 1 vers le haut ne change rien aux problèmes de "blocages".
Une telle droite passe par un clou, c'est à dire un avec ssi c'est à dire modulo 1 (2).
La droite a donc comme équation , elle passe par le clou , elle coupe les murs en (à gauche) et en (à droite) avec et ce qui signifie que, si une de ces deux longueur est , alors le clou n'est pas un obstacle au déplacement de l'aiguille (3).
Ensuite, en regardant le géogébra, on voit que pour les petit on peut trouver sans problème un chemin (en terme de ) qui va de à sans couper les courbes tracées par géogébra, c'est à dire en ne traversant ces courbes qu'en des endroit où on a ou bien donc où on peut faire passer l'aiguille d'un coté à l'autre coté du clou (4).
Quand on fait augmenter , ça augmente la partie effectivement tracée des courbes modulo 1 et là où ça bloque, c'est lorsque pour la première fois deux courbes se mettent à avoir un point commun (autre que (0,0)) ce qui créé une composante connexe dont on ne peut pas s'échapper (... à priori...(5)).
Arrivé là, ben c'est plus que du calcul relativement simple consistant à regarder à quel moment (en terme de valeur de ) va apparaître l'intersection entre entre deux courbes différentes et histoire de voir quelles vont être les deux première courbes à se croiser quand on augmente le curseur .

(1) Sur le truc géogébra, il est sur l'axe des et la valeur de (modulo 1) est affichée comme étant entre -1/2 et +1/2 (c'est plus joli du fait de la symétrie)
(2) Et les fonction du géogébra, c'est les fonctions modulo 1.
(3) Donc dans le géogébra, la fonction ne s’affiche que si les deux longueurs sont .
(4) Et jusque là, on ne se préoccupe pas des droite exceptionnelles qui passent par plusieurs clou : sur le tore en , elles ne représentent que des points isolés et il y a toujours moyen de passer à coté.
(5) Là, c'est comme toi, c'est pas archi. bien formel le fait qu'on peut pas s'échaper dans ce cas là : il est clair que pour toute longueur d'aiguille inférieure à la barre que je trouve, on pourra effectivement faire demi tour (en suivant le fameux chemin en ), mais le fait qu'on ne peut plus au delà de cette barre devrait sans doute être détaillé.

[Imod]

D'accord , j'ai compris le principe , c'est bien plus visuel qu'une aiguille qui virevolte dans tous les sens autour des clous . Il n'empêche que ça reste de l'observation des premières valeurs extrapolées aux suivantes ( dans ta méthode comme dans la mienne ) .

Une observation simple : Une aiguille très légèrement plus grande que la taille autorisée , va avoir un blocage au niveau de deux clous . La pente entre ces clous ( dans un repère orthonormé lié aux clous ) est toujours entière ( ou inverse entière ) ce qui n'a rien d'évident à priori . On doit pouvoir poser quelques bases en admettant ce résultat .

Imod

[Ben314]

J'ai corrigé mon post., Merci.
Et effectivement, tout le bidule, la seule chose à laquelle ça sert, c'est à se convaincre que les "blocages" vont apparaître lorsqu'on aura une droite passant par deux clous B et C (de gauche à droite) telle que, si les intersection de la droite avec les bords sont A et D (à gauche et à droite), on ait et .
Arrivé à ce point, c'est plus utile du tout de raisonner en terme d'angle et de tangente d'angle.
Et de toute façon, dans le modèle "du tore", l'angle servait uniquement à associer deux valeurs numériques à une droite quelconque : je pense qu'avec (a,b) -> D:y=ax+b c'était kif kif modulo que dans ce cas a décrit un ensemble infini donc c'est peut-être moins visuel (sauf que, quand a est très grand ou, de façon équivalente quand est proche de , c'est pas là qu'il va y avoir des problèmes vu la forme de l'énoncé avec sa "bande" de hauteur illimités).

[Imod]

D'accord le truc du tore à dit beaucoup de ce qu'il avait à dire mais il a fourni une estimation de la taille de l'aiguille ( personne ne l'avait fait auparavant ) .

Dans la solution que j'ai proposée , on choisit clairement une pente de type 1/n comme point de blocage , n dépendant de la parité de n et croissant très lentement avec lui . La stratégie qui fait passer l'aiguille est assez simple : on part d'une position horizontale posée sur les clous et coincée à gauche , on fait glisser le point gauche le long du bord jusqu'à blocage puis on translate l'aiguille vers le bord droit en faisant passer les clous qui frottent en dessous de l'aiguille et on continue toujours dans le même sens à partir du bord droit , ...

Il faudrait d'abord prouver que cette stratégie marche , le reste risque d'être bien plus compliqué

A voir .

Imod

[Ben314]

En fait, partant d'une aiguille de longueur en position horizontale (entre deux rangées de clous), on se pose la question de savoir quel est l'angle maximal (avec l’horizontale) qu'on va arriver à lui donner en zigzaguant entre les clous.

Quand on la fait bêtement tourner, ça coince lorsqu'on arrive dans une disposition telle que celle ci dessus avec éventuellement d'autres clous sur le segment [AB] et sur [CD], mais aucun autre sur [BC] (sur le dessin j'ai considéré que les clous et la tige étaient d'épaisseur non nulle pour avoir un dessin plus clair, en particulier concernant le fait qu'il n'y a pas d'autres clous sur [BC]).
Mais, il est clair sur ce dessin que, si une des longueur A'C ou BD' est , on va pouvoir contourner le problème en translatant la tige sur la droite où elle est située (et faire encore augmenter un peu plus l'angle). Et, si les clous et la tige sont supposés d'épaisseur nulle, alors alors A'=A et D'=D (1)

Ensuite, il reste à montrer que, si A'C et BD' sont tout les deux , il n'y a aucun moyen de "contourner le problème" (en revenant en arrière et en essayant un autre passage) : Vu qu'on essaye de maximiser l'angle (dans le sens trigo.) et qu'au départ la tige est horizontale, c'est clair que ça a pas d'intérêt de tourner dans l'autre sens vu qu'à un moment donné, on repassera à l'horizontale, c'est à dire à la position de départ. Donc sur le dessin, le point C est forcément strictement au dessus de B et, quitte à translater haut/bas la situation de départ, on peut considérer qu'au départ, la tige est déjà au dessus de B et en dessous de C.
Sauf que, vu les hypothèse faites sur A'C et BD', il n'y a aucun moyen de faire passer la tige en dessous de B, ni au dessus de C en restant avec des angles inférieurs à celui du dessin.
En bref, la tige est définitivement "coincée" dans dans anges inférieurs à celui de la figure.

(1) Mais je pense qu'on arriva "tout pareil" à résoudre le problème avec des clou et une tige d'épaisseurs données.

[Ben314]

Au niveau calculs, on prend et avec et (entiers).
Si on pose alors "ça bloque" ssi ce qui signifie qu'il faut chercher la valeur minimale de pour savoir quel est le blocage "le plus contraignant".
- En ce qui concerne , c'est facile : augmente avec donc il faut prendre pour minimiser .
- Ensuite, si (donc ) alors qui est, pour fixé, croissant en donc il faut prendre minimal, c'est à dire ce qui donne (avec ).
Et si (donc ) alors qui, pour fixé, est décroissant en donc il faut prendre maximal, c'est à dire et on retombe sur la même chose que dans le premier cas.
- Reste à trouver le minimum de pour (entier).
Et un simple calcul de dérivée (un peu chiant) montre que la fonction est décroissante puis croissante avec un minimum en .

Et j'ai l'impression qu'on peut mener "quasiment" les mêmes calcul pour voir de quoi il retourne avec des clous et une tige d'épaisseur non nulle, voir même pour trouver quel est l'angle maximal qu'on peut atteindre au cas où il est impossible de faire demi tour (i.e. quels sont les deux clous sur lesquels on va buter en partant d'une tige horizontale).

[Imod]

Oui , ça marche

Je m'étais mis en tête qu'on ne pourrait jamais trouver la meilleure aiguille sans expliciter la stratégie de retournement , j'ai la preuve du contraire .

Merci Ben et Bravo

Du coup je vais peut-être ressortir quelques vieux problèmes du même style qui dorment dans mes carnets depuis trop longtemps . En attendant il reste le problème initial ( retourner l'aiguille dans un carré de côté n ) sûrement particulièrement coriace .

Imod

[Ben314]

A mon sens, le premier post (avec dessin) explicite parfaitement bien la "stratégie" (avec des guillemets...) :
On fait tourner l'aiguille sur elle même sans réfléchir et, lorsqu'elle bute sur deux clous comme sur le dessin, on regarde si "ça passe" en la poussant à fond à droite ou en la poussant à fond à gauche.
Si ça passe, tant mieux et on continue à tourner sans réfléchir jusqu'au deux clous suivants et si ça passe pas, ben c'est que c'est foutu et c'est pas la peine d'essayer autrement : ces deux clous là, y'a pas moyen de les passer...

Sinon, concernant le carré de coté , la faisabilité du bidule va dépendre de la position initiale de l'aiguille : si au départ elle est à l'horizontale tout en bas, tu ne va pas arriver à faire grand chose.
Par contre, si elle est "plus ou moins au milieu" au départ, j'aurais tendance à penser que la limite, c'est la même que dans le cas d'une bande clouté.

[Imod]

D'accord , la stratégie est simple .

Dans le problème initial , il fallait trouver la plus grande aiguille que l'on pouvait retourner , on pouvait donc choisir la position de l'aiguille dans le cadre . Par contre le terme "retourner" peut prêter à confusion , j'entendais pas là que l'aiguille devait se retrouver dans la même position mais avec le chas à la place de la pointe .

Il me semble en effet qu'on peut traiter le problème à l'identique si les clous sont représentés par des disques de rayon non nul ( tant que les rayons restent petits par rapport à la largeur de la bande ) . De même si on remplace l'aiguille sans épaisseur par un rectangle de "petite" largeur . Après , avec des gros clous et/ou des grosses aiguilles il risque d'y avoir pas mal de cas à traiter , je ne sais pas si ça peut-être intéressant

Imod

[Ben314]

J'ai pas trop re-regardé le cas du carré.
Par contre, avec des clous ayant un rayon r>0 et une aiguille parfaitement rectangulaire de taille Lxe, j'ai essyaer de regarder ce que donne précisément le dessin du post çi dessus pour voir quand est-ce qu'il y a assez de place pour faire passer l'aiguille à gauche de C et ça m'a conduit à des truc pas bien propres :
J'ai essayé d'écrire où est le coin haut-gauche M' de l'aiguille en fonction du coin haut droit M sachant que MM'=L et que la distance de la droite (MM') à B est égale à r+e, mais c'est un peu compliqué...

[Imod]

Oui , il n'y a pas besoin de se lancer dans les calculs pour se rendre compte que ça devient très vite inextricable . Si la taille des clous et l'épaisseur de l'aiguille sont petits par rapport au maillage il suffit de corriger la longueur trouvée avec un peu de géométrie de contact ( c'est facile et plutôt amusant ) sinon c'est simplement monstrueux .

Imod

[Imod]

Il faut que j’arrête de poster après minuit

Imod