Le demi-sucre de Zac Haroz.

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scarta
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Re: Le demi-sucre de Zac Haroz.

par scarta » 17 Juin 2020, 21:02

Sinon pour la formule en question : j'ai pas vérifié mais j'ai cru reconnaître le calcul du n-ième moment d'une variable aléatoire par la dérivée n-ième de la fonction génératrice. C'est à ça que je tirais mon chapeau - je crois pas avoir utilisé cette formule depuis longtemps :)
Après oui j'ai admis le résultat sans vérifier que la fonction génératrice était bonne, mais je ferai quand j'aurai le temps :P



Doraki
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Re: Le demi-sucre de Zac Haroz.

par Doraki » 17 Juin 2020, 21:16

Ah bah l'intégrale était pour tenter d'avoir une réponse à la question initiale "quelle est la proba de ..."

Pour ce qui est du calcul exact de la probabilité (qui est un rationnel), ce n'est pas dit qu'elle soit forcément utile. Par exemple si on développe la puissance on obtient un nombre quadratique de termes faciles à intégrer et du coup c'est pas forcément plus rapide que de juste faire le calcul normalement.

Pour ce qui est du comportement asymptotique c'était très probable que ça aide et c'est pour ça que je l'ai posté pour que quelqu'un continue là dessus (merci ffpower)

Pour avoir une valeur approchée bah pour le coup ça marche très très bien.

J'explique d'où elle vient :

En proba un des trucs les plus mystificateurs c'est quand on change la manière de procéder à une expérience aléatoire sans changer le résultat de l'expérience. Plutôt que de piocher dans la boîte régulièrement tous les 1 jours, à la place j'ai n sucres et je les pioche chacun indépendemment selon un processus de Poisson pour chaque sucre, mais je retiens seulement les 2 premières pioches des processus de Poisson. Après je range tous ces événements dans leur ordre chronologique, j'efface les temps, et je leur donne des numéros jour 1, jour 2, jour 3, ..., jour 2n.
La magie du processus de Poisson c'est que peu importe le moment où tu te trouves dans le temps, le prochain sucre a être pioché sera toujours pioché de manière uniforme indépendemment de ce qui s'est passé avant, et c'est pour ça qu'au final, on obtient un procédé équivalent.
Une fois que tu as pris ce point de vue, pour calculer la probabilité d'avoir un sucre entier l'avant dernier jouer, il faut sommer pour chaque sucre (disons sucre n°k) la probabilité que au moment t où tu pioches le sucre n°k pour la première fois, tous les autres sucres ont été piochés au moins deux fois par leur processus de Poisson.
A t fixé, les événements qui parlent de ce qui est arrivé à des sucres différents vont être indépendants, ce qui permet d'avoir une expression "simple" du truc, puis tu obtiens la probabilité voulue en intégrant par rapport à t.

scarta
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Re: Le demi-sucre de Zac Haroz.

par scarta » 17 Juin 2020, 21:25

Brillant

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Ben314
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Re: Le demi-sucre de Zac Haroz.

par Ben314 » 18 Juin 2020, 00:48

effectivement très très joli.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

scarta
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Re: Le demi-sucre de Zac Haroz.

par scarta » 18 Juin 2020, 08:39

Le résultat Dynamic Programming pour 10^6 est arrivé dans la nuit. Et sans surprise ...
1000000 : 0.941853

scarta
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Re: Le demi-sucre de Zac Haroz.

par scarta » 22 Juin 2020, 11:06

Pour info, j'ai optimisé un peu un code qui travaille sur les valeurs exactes (en fraction).
La probabilité de finir sur deux demis sucres à la fin avec 100 sucres au début est très exactement :

Code: Tout sélectionner
75729070212884959962179462170111532945438181515983
56400623675554364260487008314254187178529217176107
62866726439769744990259525916382356751993590319655
76155880211056561927127524949190200177605828829960
83262296685860706423358223810981691821199589390661
39581256425225073595339295014991334054749986409388
88774745053198894405530874848257273532166399170966
12439829773800121502960144309732186526838487724183
16937712119207405363226070152938111078676408315155
69321532152177103557599369071309938705721856388957
01514471453879933579866926298137070671049315217540
53358140839685343571018235284463329082730815803854
22081027324781768636522033824586906759851971271465
93428140029264979316002387404572372370173457430015
97644667086055826769243243384497756642369948373578
15313865357019363155428830314168184606249451225949
84869142819624884417758631825045227866439579020648
14488872042604228586287134879539228594047079750192
95013190463409086581676623307415010409474721517471
40058329223569817032685030812805112114303652979558
03985811894986756112661936809822011902186863394098
96347166501186782727455802228332949602015264853402
48166207374375217111402536130703143606017370100839
98826839707892664613132570595134284703780327608947
56179780951707552772735798028192793688193587928073
91397455896524145937476374226202803425610162203926
43772423890718396662100085035457149523770636979659
85050534998166585161348747999581081620432302300035
47802577483138515653326994535145118360189237682181
00447634665747209002319005883078458867156457373122
10304036757716910563240300884124825088949464451033
89864764604127669028787605537638776530791690826855
46802971498358838562222190111634167551502675365903
14284353584033580617678254163127010889647112044666
19915940867323075146397337871705926943816104822505
85839302511291200768429208783827919527468102816912
45655437771397623229376855190788725046387710543101
64357088497241349753562666643849858476419286153680
95566260387722529372942865382381378423407931386877
07342772135384767372503029243984151914923885610410
28667046506119968348426524523913332302858687148339
87420901162968292767158877405212362160039716998708
56648732189805250717726590617182598168646179217389
51286150525481869567973285816388578409805770929561
86860215560402629072715357558667592965617216685298
67575548965576261485081811237438472968202778715518
20414494025497291786522656062964095800593374132919
49669429501461997905508459516371375131532325353042
50243840186152189346732011777604428149566868548832
30377096722672526555872513031317689714802493746024
82609883302204579755278121075697322959096090992410
90955436524151195187215356825628884408534015732017
81809869079785585031768466569831396227204654414299
24744685968626295122489072437291043258939619574515
73644379410917595057871451206943885762721350661296
25982236432897870270448643818054259794987116932359
20193604915700856047178925681814842191791494990559
11270455819270130397841631308090800112067009539623
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69450192836968559754766755272069893776725972036382
55090944996689497652004331813452211029150922758602
97723027695187404851192201650244353877902804964465
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74836768615040117316425094867702197065721743407339
13489687760159228601542582647989687226858149918120
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39807535356937755154055079670621341403869768764656
88419226943583313576358078052237409036283795764391
21321308283763287510312992537093046418982076661684
24796069575492907585160040273224341696095646948600
18414286441677252244074339208452939154209609251674
93421848528514884199445119185982723406465947848923
15184352929940725419966939645845198770948697634783
91724482811568876679707560582404095301060027448236
39452098640503170853131346727101982249790617144600
38426575079001414798064023810705400545488281560029
93315721262517580726092223520619531861511904718244
38591052514933143222073785871792166650536713556047
61417809596445016499130170025433612401683703513701
26894164122067306628180276545210523665153571113458
96514303823772070017837607937057756743020391411152
81362087166022455496595626769503002545202060793011
05531279184688882087306758840102729838847935680231
07877640131161848227916214098593360827452154549853
02929247157970466833534762998917887786939025516206
02830805954747057983599746862762016358309863646251
03397933433210265971999526501128446806874501316955
23420495432601760244543465205166306963206593817369
33786460294927933310505216337403862698744021147308
31449982227011101796697945138476220397449315821451
96255420328168907237760919967207992681213419138974
27385573100060112388072006123104864646759868568433
70524463470750711671092737422312615772049189518210
19634778841999663796952274570913352393504527168790
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