Défis.

par **Archytas** » 03 Juil 2013, 12:18

Kikoo <3 Bieber a écrit:Salut,

Ah ben j'ai totalement séché sur le problème de géo !

Des indications sur la classe de f et de g ?

Oui désolé, continue et strictement positives. Bonne intuition Adrien c'est ça (;.

par **adrien69** » 03 Juil 2013, 12:48

Archytas a écrit:Oui désolé, continue et strictement positives. Bonne intuition Adrien c'est ça (;.

Oui et en fait la preuve est évidente

par **Archytas** » 03 Juil 2013, 20:44

Evidente ? à ce point ? C'est pas ce qui m'a semblé à moi :D

par **capitaine nuggets** » 03 Juil 2013, 20:57

Salut !

Je dois bien avouer qu'une preuve m'intéresserais :we:

par **Kikoo <3 Bieber** » 03 Juil 2013, 22:14

Ben en fait je cherche et je trouve pas...

Mais voilà comment je commencerais : Je cherche à borner le truc qui est dans la puissance 1/n grâce à sup_[a,b](f(x)). Soit M=sup_[a,b](f(x)). Ben comme M est une borne sup de f sur [a,b], il existe un x0 dans [a,b] tel que cette borne soit atteinte par f. Soit f(x0)=M.
Et à partir de là on essaye d'encadrer f mais je sais pas comment.

par **adrien69** » 03 Juil 2013, 22:58

En fait si tu sais que

t'as gagné. Je vous laisse le montrer ?
Après il suffit d'encadrer g par ses min et max et avec la puissance 1/n, ça va peser pour 1.

par **adrien69** » 03 Juil 2013, 22:59

Le tout c'est de commencer par g=1 en fait pour voir ce qu'il se passe.

par **Archytas** » 04 Juil 2013, 11:43

Salut, j'ai pas trop compris la justification d'Adrien, mais avec des outils de sup voilà comment je ferais.
f est continue sur un segment donc admet une borne supérieure et celle ci est atteinte (en fait le fait qu'elle soit atteinte n'importe pas).
On appelle M cette borne sup,

donc

. Par linéarité de l'intégrale et parce que

est une valeur finie on a

Ensuite par définition de la borne supérieure

et puisque f est continue c'est en fait pour un voisinage

de y.
Je ne suis pas très sûr pour la suite, je pense qu'il y a une faute de rigueur je vous laisse voir mais bon voilà :

les premier et troisième membre de la somme majorent 0 et le deuxième majore

puisque c'est quelque soit epsilon et que l'intégrale de g est finie on obtient que

La double inégalité donne l'égalite !

EDIT : Merci Kikoo c'est rectifié :happy3: !

par **Kikoo <3 Bieber** » 04 Juil 2013, 12:09

Archytas a écrit:Salut, j'ai pas trop compris la justification d'Adrien, mais avec des outils de sup voilà comment je ferais.
f est continue sur un segment donc admet une borne supérieure et celle ci est atteinte (en fait le fait qu'elle soit atteinte n'importe pas).
On appelle M cette borne sup, donc . Par linéarité de l'intégrale et parce que est une valeur finie on a

Ensuite par définition de la borne supérieure et puisque f est continue c'est en fait pour un voisinage de y.
Je ne suis pas très sûr pour la suite, je pense qu'il y a une faute de rigueur je vous laisse voir mais bon voilà :
les premier et troisième membre de la somme majorent 0 et le deuxième majore puisque c'est quelque soit epsilon et que l'intégrale de g est finie on obtient que

La double inégalité donne l'égalite !

Salut Archy !

Quand tu décomposes par Chasles, il y a une erreur de parenthèsage.

PS : Ca me fait penser à un autre exo similaire que j'ai eu où un bon schéma te montre qu'il faut utiliser Chasles à bon escient pour majorer l'intégrale.

par **adrien69** » 04 Juil 2013, 12:21

Tu n'as pas prouvé que la limite existait.
J'envoie ma preuve. J'appelle dedans

le sup sur [a,b] de f.
J'ai supposé que vous connaissiez l'outil liminf, limsup, si ce n'est pas le cas, prévenez.

http://www.flickr.com/photos/98438360@N06/9208146888/

IMG_20130704_120840 par adrien_corenflos, sur Flickr

par **adrien69** » 04 Juil 2013, 12:23

C'est peut-être un peu grand...

IMG_20130704_120840 par adrien_corenflos, sur Flickr

par **adrien69** » 04 Juil 2013, 12:25

Et je m'excuse pour le gros pâté, j'allais y utiliser la théorie de la mesure que vous n'avez pas vue.

par **adrien69** » 04 Juil 2013, 12:27

D'ailleurs j'appelle indifféremment M le max de g et le max de f, j'espère que vous saurez faire la différence ;)

par **Archytas** » 04 Juil 2013, 12:30

Effectivement j'ai pas montré que la limite existait, mais je n'ai pas compris comment tu le justifier, ||f(x)||_[a,b] représente le maximum de f sur [a,b] ??

par **Kikoo <3 Bieber** » 04 Juil 2013, 12:46

Oui, ||f(x)||_[a,b] c'est la norme du sup ?

par **adrien69** » 04 Juil 2013, 12:47

Ben liminf et limsup existent toujours, donc je les utilise. Et on sait que la limite existe si liminf=limsup, ce que j'ai prouvé.
Et oui pour l'autre question (j'ai remplacé ça par M pour plus de commodité par la suite)

par **adrien69** » 04 Juil 2013, 13:04

Voilà en ultrarédigé (et après correction d'un couac ou deux) :

IMG_20130704_125935

par **Archytas** » 04 Juil 2013, 17:32

Au passage en prenant ma méthode il ne me semble pas utile de justifier l'existence d'une limite puisque je borne ma suite entre deux suites qui elles ont une limite et c'est pour tout n, donc d'après le théorème d'encadrement ma suite à une limite et celle ci est M. Non ?

par **adrien69** » 04 Juil 2013, 18:36

Archytas a écrit:Au passage en prenant ma méthode il ne me semble pas utile de justifier l'existence d'une limite puisque je borne ma suite entre deux suites qui elles ont une limite et c'est pour tout n, donc d'après le théorème d'encadrement ma suite à une limite et celle ci est M. Non ?

Tes deux suites n'ont pas pour limite M donc non.

par **Archytas** » 04 Juil 2013, 19:47

adrien69 a écrit:Tes deux suites n'ont pas pour limite M donc non.

Et bien si puisque c'est M fois l'intégrale d'un machin finit à la puissance 1/n et donc qui tend vers 1... :hein: ??

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