Défis.

[Kikoo <3 Bieber]

Salut,
Les beaux défis me manquent.
Quelqu'un ? S'il-vous-plait ?

[mathafou]

Bonjour,

Salut,
Les beaux défis me manquent.
Quelqu'un ? S'il-vous-plait ?

tu peux te frotter au problème suivant (toujours pas résolu autrement que par "d'horribles calculs") posé sur d'autres forums :

cela revient à prouver la propriété suivante
ABC triangle isocèle en A, J le centre de son cercle exinscrit dans l'angle A, D milieu de AC et F milieu de AB

propriété :
le cercle circonscrit à JBC (tangent en B et C à AB et AC donc)
la droite BD
la droite JF
sont concourants en un même point E si et seulement si l'angle A vaut 36°

[Kikoo <3 Bieber]

C'est du lourd ! Merci :)

Je m'y attelle dès que possible, mais sans doute pas ce soir...

[Kikoo <3 Bieber]

Je serais tenté de résoudre le problème analytiquement en introduisant un repère en A et en jouant sur la condition de concourance... Mais je suis sûr qu'il y a plus joli en observant une homothétie. Il me faut un crayon et une feuille. Je verrai ça demain sauf si je n'arrive pas à trouver le sommeil, bonne nuit !

[Lostounet]

J'ai fait une figure sur Géogebra (téléchargeable ici ) très pratique pour conjecturer les variations de l'aire du triangle E1E2E3, qui semble s'annuler pour Beta = 36 comme indiqué donc.

Intuitivement, j'ai pensé à la méthode suivante:

* On fixe l'angle à 36 degrés et on essaye avec des calculs analytiques (lourds) de montrer la concourance.

* On montre que c'est la seule valeure possible peut-être en montrant que lorsque l'angle excède 36 (ou est inférieur à cette valeur) les points E2 et E3 (et/ou une autre couple de points) se séparent. Peut-être en choisissant judicieusement comment s'y attaquer on pourrait minimiser les couts.

Je n'en sais malheureusement pas plus pour l'instant !

[mathafou]

On en est tous là : on peut résoudre "analytiquement" (calculs avec des affixes, ou des coordonnées barycentriques, ou etc) mais une preuve géométrique accessible reste pour l'instant inconnue ...

On est un peu dans le même cas que les "angles fortuits" classiques (voir adventitious quadrilaterals) une figure avec des angles donnés et des angles à calculer, les angles à calculer sont "par hasard" des valeurs simples et multiples exacts de 10°, mais le démontrer passe
- soit par des calculs abominables avec équations de degré 3 etc
- soit par "l'idée géniale" de rajouter judicieusement quelques points sur la figure, et hop, clair comme de l'eau de roche, sans aucun calcul (on plonge la figure dans un polygone à 18 côtés).

ici 36° est un angle qu'on retrouve dans des 5n-gones et l'idée de "plonger" la figure dans un pentagone, ou un polygone à 10, 15, ... 5n côtés "judicieusement choisi" est une piste à explorer, mais pour l'instant je n'ai pas trouvé dans cette voie non plus.
(Et on peut faire apparaitre le nombre d'or là dedans et les équations sont de degré deux seulement, ouf...)

En bidouillant avec Geogebra on voit apparaitre un cercle inattendu :
si on se fixe BC et qu'on fait varier A, le lieu de l'intersection de E = intersection de BD avec notre cercle est ... un cercle
Ceci montre que le produit BE.BD est une constante (= BC²/2) qui ne dépend pas de l'angle A. Preuve à rédiger avec le théorème de la médiane ?
mais est-ce utile ?

[LeJeu]

En bidouillant avec Geogebra on voit apparaitre un cercle inattendu :
?

Si on a le droit de bidouiller, je bidouille....

Il me semble que les lieux d'intersection entre JF et BD est une ellipse, de grand axe incliné de -72°




et que pour un angle en A de 36° le grand axe de l'ellipse passe par C




et que le cercle JCB est alors tangent à l'ellipse



Mais je ne suis pas sûr d’avoir fait avancé le schmilblick

[mathafou]

Il faut que tu définisses précisément le lieu quand quoi varie !!

et "quand A = 36°" plus rien ne varie et il n'y a pas de lieu de quoi que ce soit pour une valeur donnée de l'angle. avec les conditions ABC isocèle en A, D milieu de AC, F milieu de AB et J centre du cercle exinscrit. Ces "caractéristiques" de la figure sont imposées et le seul paramètre c'est l'angle A.

Le lieu c'est justement quand l'angle A varie !! (divers autres trucs étant fixes)
mon cercle est pour B, C fixés et A variable (sur la médiatrice de BC)

en bleu ce qui est fixe
Le point A se déplace sur la médiatrice de BC et c'est lui qui pilote tout le reste (en vert)
pour un point A donné il n'y a qu'un point E, le lieu est quand A varie sur la médiatrice (donc quand l'angle A varie, B et C étant fixes)
de toute façon se lieu est de peu d'intérêt car les lieux de E' et E'' sont "affreux" et donc pas d'intersection simple entre ces lieux. (point E=E'=E'' ssi A = 36°)
il n'est que le révélateur de la relation BE.BD = BC²/2, relation qui, elle, pourrait servir.


Ou alors si tu fixes l'angle A tu dois faire varier autre chose, une autre caractèristique fondamentale de la figure (ABC n'est plus isocèle, ou bien D n'est plus le milieu de AC ou va savoir) mais tu dois préciser ce que tu fais varier pour avoir un lieu !!

[LeJeu]

Il faut que tu définisses précisément le lieu quand quoi varie !!


!!

gloops ..je précise de suite ... le temps de screen shooter ce que je voyais quand l'angle A varie ...

[LeJeu]

gloops ..je précise de suite ... le temps de screen shooter ce que je voyais quand l'angle A varie ...

En faisant varier l'angle A :



le point E decrit une ellipse ( dessin approximatif je l'accorde ..) ?



Quand A a la valeur de 36° alors la figure est particulière



et le cercle est tangent à l'ellipe



Je suis ok - je n'ai rien démontré - juste essayé de regarder ce qui était 'constant'

[mathafou]

... juste essayé de regarder ce qui était 'constant'

c'est raté car en changeant tout et pas seulement l'angle A tu obtiens quelque chose qui n'a aucun rapport avec le problème : ton point J n'est pas à tout moment le centre du cercle exinscrit.

Tu sembles au contraire partir d'un point H (à priori quelconque) fixe sur AB et construire J à partir de la perpendiculaire en C à CH
mais CH n'est alors plus la bisectrice de l'angle C et par conséquent J n'est pas non plus le centre du cercle exinscrit

edit : même pas, ta construction n'est pas ça non plus. mézalors comment donc est défini ton point J ???

la vraie figure c'est ça :

ça ne ressemble absolument pas à une ellipse ...
comme pour ma précédente figure, en bleu ce qui est fixe, toute la figure est pilotée par le point C variable et tout ce qui est en vert se déduit de C et est donc variable.
en particulier le point H se déplace sur AB quand l'angle A varie...

[chan79]

Bonjour à tous
Donc B et C sont fixes et A varie sur la médiatrice de [BC].
E est le point d'intersection de [BD] et [JF].
Il "suffirait" de montrer que les angles jaune et bleu sont égaux dans le seul cas où l'angle vert mesure 36°. Mais je suppose que cette piste a déjà été étudiée ... (arc capable)
L'angle bleu B s'exprime facilement en fonction de l'angle vert V.
B=45°+V/4
Pour exprimer l'angle jaune en fonction de V, moins évident ...

[mathafou]

Bonjour à tous
Il "suffirait" de montrer que les angles jaune et bleu sont égaux dans le seul cas où l'angle vert mesure 36°.

Oui, mais en fait c'était le problème au départ :
E est défini comme intersection du cercle tangent en B et C à AB et AC et de la droite BD, D milieu de AC et F milieu de AB
(pas de point J à ce moment, donc pas de droite JF)
calculer cet angle dans la configuration où A = 36°
L'angle en E (DEF) vaut alors "fortuitement" exactement 54° alors que d'autres angles de la figure sont d'horribles irrationels (en tours) rendant quasi impossible une "chasse aux angles" fructueuse.

pour calculer cet angle on a alors introduit le point J et alors le problème devient : prouver que J, E F sont alignés.
une fois cette propriété prouvée, la valeur de l'angle devient évidente (arc capable effectivement).

Ce qui se traduit par "prouver que les droites JF, BD et le cercle sont concourantes quand A = 36°.
c'est tout pareil, différentes formulations du problème.

C'est "faisable" mais pour l'instant les seuls preuves nécessitent des calculs abominables et/ou des considérations très loin d'un niveau disons Lycée (par exemple la projection d'une division harmonique sur un cercle)
A suivre...

[chan79]

Oui, mais en fait c'était le problème au départ :
E est défini comme intersection du cercle tangent en B et C à AB et AC et de la droite BD, D milieu de AC et F milieu de AB
(pas de point J à ce moment, donc pas de droite JF)
calculer cet angle dans la configuration où A = 36°
A suivre...

Salut
Tu devrais mettre une bonne fois pour toutes le sujet tel qu'il est posé initialement, en précisant ce qui est fixé, la définition de chaque point ... etc

[mathafou]

Salut
Tu devrais mettre une bonne fois pour toutes le sujet tel qu'il est posé initialement, en précisant ce qui est fixé, la définition de chaque point ... etc

L'origine du "sujet" est :

triangle ABC isocèle avec angle A = 36°
cercle tangent en B et C aux côtés
D milieu de AC
F milieu de AB
BD coupe le cercle en E
calculer l'angle FED
point barre

de ce sujet on tire une solution possible qui est de considérer le point J dont on parle ici, (voir figure du premier post)
car alors si on réussit à prouver que E, F et J sont alignés, alors l'angle E coule de source via les angles inscrits
toute la difficulté est de prouver cet alignement.
donc on cherche à "reformuler" le problème d'alignement en "concours de BD, JF et du cercle"
ce qui donne le problème tel que je l'ai posé ici.
Parce que ce concours on peut l'exprimer comme
- E défini comme à l'origine (intersection de BD et du cercle) et prouver l'alignement de JEF
- ou bien E intersection de JF et BD et prouver qu'il est sur le cercle
- ou bien E intersection de JF et du cercle et prouver l'alignement de BED
- etc

et cet alignement / concours en un seul point n'a lieu très précisément que si l'angle en A à la valeur de 36°
toute autre valeur (à partir de la définition d'origine E intersection de BD et du cercle) rend l'alignement JEF faux et donc ce calcul de l'angle E impossible (tout au moins inextricable) autrement que en valeur numérique et pas en prouvant que c'est très précisément la valeur obtenue, ici si A = pi/5 alors E = 3pi/10 exactement (pas à 10^-15 près "à la calculette", exactement)
voila
le problème est en fait ouvert et comme je le disais jusqu'ici résolu uniquement par des calculs algébriques (des pages de calculs si on les détaille explicitement et pas par une ellipse du genre "un calcul simple mais long montre que ...")

Les histoires de lieu des derniers posts sont exclusivement des pistes de recherches possible pour extraire des propriété cachées de la figure qui permettraient d'avancer, c'est uniquement cela et rien d'autre : des pistes de recherche
il n'y a aucun lieu ni rien qui "bouge" dans le problème lui-même.
juste prouver que avec l'angle en A = 36° les trois "trucs" sont concourants en E.

[mathafou]

L'origine du "sujet" est :...

merci chan79 d'avoir recentré le débat
Le problème d'origine ayant désormais une solution "propre", on en déduit la solution du problème tel que posé ici.
je remets la petite preuve que je viens de poster ailleurs :

Données triangle isocèle ABC angle A = pi/5 (36°)
D milieu de AC, F milieu de AB
le cercle tangent en B et C aux côtés
E l'intersection de ce cercle et de BD
calculer l'angle FED

Une démonstration niveau Lycée :

le cercle étant tangent en C, DC² = DE.DB
le théorème de la médiane donne BD et permet de déduire que BE.BD = BC²/2
(pour info cela donne que les points T (milieu de BC), C, D et E sont cocyliques,
le cercle étant homothétique du cercle circonscrit dans le rapport 1/2 et de centre d'homothétie C,
O est aussi sur ce cercle !!
propriété remarquable qui vaut à elle seule un exo et est valable quel que soit l'angle A du triangle ABC, isocèle en A !)

Construisons le pentagone régulier dont A,B,C sont des sommets, inscrit dans le même cercle que ABC

Lemme : dans un pentagone régulier les diagonales AB et CU se coupant en K on a BK.BA = BC² (triangles CKB et ABC semblables)

par conséquent BE.BD = BK.BF et donc les points E, D, F, K sont cocycliques
et donc l'angle FED = l'angle FKD
mais la symétrie du pentagone régulier montre que DK est perpendiculaire à AC,
le triangle ADK est donc rectangle en D et l'angle cherché est le complémentaire de l'angle A soit 90 - 36 = 54°

CQFD pour le problème d'origine
et par conséquent (via les angles inscrits) on en déduit pour le problème que j'avais posé ici que J,E, et F sont alignés.
détails laissés au lecteur c'est maintenant facile

[Imod]

Quand on fait référence à un un problème d'un autre site , le plus simple est de donner un lien :zen:

Imod

[Archytas]

Salut, je sais pas ce que t'appelles un beau défis, mais celui ci m'avait bien amusé :

[adrien69]

Pour moi ça tend vers
Mais je peux me tromper. C'est de l'intuition.

[Kikoo <3 Bieber]

Salut,

Ah ben j'ai totalement séché sur le problème de géo !

Des indications sur la classe de f et de g ?