Défilycée 7 : Concours Général 1994

Olympiades mathématiques, énigmes et défis
Zweig
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Défilycée 7 : Concours Général 1994

par Zweig » 14 Juil 2008, 00:59

Yo,

A mon tour de vous poser un exercice !

Soit ABC un triangle. Si P est un point de son plan, on note L, M, N les projetés orthogonaux de P respectivement sur (BC), (CA) et (AB). Déterminer le(s) point(s) P pour le(s)quel(s) la quantité est minimale.



_-Gaara-_
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par _-Gaara-_ » 14 Juil 2008, 03:17

Salut,

bon voilà ^^

2 heures de dur labeur XD

http://documents.scribd.com/docs/11rr9uq5u4ha9aa99786.pdf

=)

Zweig
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par Zweig » 14 Juil 2008, 03:38

C'est ça !

En fait, il y'a moyen de raccourcir la démonstration en remarquant que pour tout réel et on a avec égalité lorsque .







D'où (qui est bien le minimum recherché puisque A, B et C sont fixes dans le plan)

Il est ensuite facile de déterminer le cas d'égalité et donc d'affirmer que l'unique point P est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.

L'idée majeure dans cet exercice était de se demander "On me demande de trouver le minimum de la somme des carrés de certaines parties des côtés du triangle, mais pourquoi cette somme et pas la somme des carrés des parties restantes ?". Il fallait donc avoir l'intuition que ces deux sommes étaient égales.

Pour instance, cet exercice est un exercice du Concours Général 1994 (oui, rien à voir avec le CG d'aujourd'hui, c'était plus "olympique" avant ...)

 

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