Défi : mu (B)+mu (L) >= mu(W) ?

[MClerc]

Bonjour,

Un petit problème agaçant (voir ci-dessous).
Expérimentalement, l'inégalité du titre semble toujours juste, mais je n'ai trouvé ni sa démonstration ni sa réfutation.

Merci d'avance pour tout indice dans un sens ou dans l'autre !

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Soit f une fonction continue sur I=[0,1], sans plateau (un plateau est un couple (v,[a,b]) tel que f(x)=v pour tout élément de [a,b]).

On considère les ensembles suivants :
O := les triplets de tels que
B := les triplets de O pour lesquels et
W := les triplets de O pour lesquels et
L := tous les autres cas, c'est-à-dire les triplets pour lesquels ou .

Naturellement, (B,W,L) est une partition de O.

On appelle la mesure de Lebesgue sur O.
Montrer :
a) soit que
b) soit que ce n'est pas toujours vrai (contre-exemple ?).

Incidemment, si a) est vrai, il est d'ailleurs possible d'aller plus loin. On définit la propriété « de constance nulle » par :- pour tout v, , où m est la mesure de Lebesgue sur I.

Alors, si f est de constance nulle (ce qui implique, en particulier, qu'il n'y a pas de plateau), on peut montrer que