Defi proba 2

[BQss]

salut , je lance un defi proba 2 en esperant qu'il soit plus populaire que le 1, ce sera pas difficile :briques: :++: .

On definit la suite croissante de tribu i.e et la suite de variables aleatoires où est mesurable (on dit que est un processus adapté à ").

Soit une variable aleatoire à valeur dans tel que soit mesurable ou definition equivalente si soit mesurable (on dit que T est un temps d'arrêt).

On dit que est une martingale si .

Les deux questions suivantes sont indépendantes:
1)Montrer que est un temps d'arrêt si et sont des temps d'arrêts.
En déduire que est un temps d'arrêts si .
2)Montrer que est une martingale si est une martingale.

Indication generale:
Noter que si on est plus a l'aise avec la deuxième notation.

Indications pour resoudre la question 2:
Si est mesurable alors
Si est mesurable et quelconque alors .
si et sont deux variables aléatoires

Aucune autre connaissance n'est necessaire pour resoudre ces questions, si ce n'est connaitre les propriétés des tribus et des fonctions mesurables. Il n'est pas necessaire de connaitre d'autre propriétés de l'esperance conditionnelle.
Les deux questions ne sont pas tres longues a resoudre, il s'agit d'avoir comme souvent les bonnes idées.


En dessous en surlignant: vous aurez un indice suplementaire pour le 1 et pour le 2.
Pensez a partitionner les ensembles pour le 1 et pour le 2 pensez a decomposer la fonction à l'aide de fonctions indicatrices d'ensemble.




Bonne chance!

N'hesitez pas à demander plus de precisions.

[nuage]

Salut BQss, content de te revoir.
Mais ce défi est un peu trop théorique pour moi. Il faudrait que je me replonge dans mes cours (ou pire que je réfléchisse à la signification de l'énoncé) et j'ai la flemme. J'espère quand même que quelqu'un, même si c'est toi donneras la solution.

A+
nuage

[BQss]

Merci de ton soutien nuage ;).
Je donnerai bientot un indice plus explicite pour initier la demo de ce qui voudront s'y essayer. Si le vif succes de mon probleme perdure ensuite, je donnerai la solution, disons dans une semaine.