Défi pour Foussa

Olympiades mathématiques, énigmes et défis
Imod
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Défi pour Foussa

par Imod » 13 Juin 2007, 20:32

On considère un échiquier infini .

Est-il possible de remplir chaque case avec tous les entiers naturels non nuls ( 1;2;... ) de façon à ce que chaque entier figure une fois et une seule et que cet entier soit un diviseur de la somme de ses voisins ( deux cases sont voisines si elles ont un côté en commun ) ?

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Foussa
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par Foussa » 13 Juin 2007, 21:02

Pourquoi remplir "chaque" case alors que l'échéquier est "infinie" et les chiffres aussi ... :ptdr:

Foussa
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par Foussa » 13 Juin 2007, 21:05

Et puis 1+2 = 3 ok ! :zen:

Mais 4+5 = 9 non 6 ! :we:

yos
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par yos » 13 Juin 2007, 21:32

Foussa a écrit:Pourquoi remplir "chaque" case alors que l'échéquier est "infinie" et les chiffres aussi ... :ptdr:

Ya du vrai là-dedans.

Imod
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par Imod » 13 Juin 2007, 23:38

Foussa a écrit:Et puis 1+2 = 3 ok ! :zen:
Mais 4+5 = 9 non 6 ! :we:

Je laisse mon défi pour ceux qui connaissent leurs tables .

Pour l'infini , je reconnais qu'il y a là un vrai malaise mais ceux qui n'en ont pas peur peuvent essayer quand même .

Imod

fahr451
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par fahr451 » 13 Juin 2007, 23:46

Imod a écrit:On considère un échiquier infini .

Est-il possible de remplir chaque case avec tous les entiers naturels non nuls ( 0;1;2;... ) de façon à ce que chaque entier figure une fois et une seule et que cet entier soit un diviseur de la somme de ses voisins ( deux cases sont voisines si elles ont un côté en commun ) ?

Imod


si on place tous les entiers sur chaque case va y avoir un problème )

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par Imod » 13 Juin 2007, 23:59

D'accord Fahr :doh:

Existe-t-il un sujet parfaitement rédigé ?

UN entier par case , TOUS les entiers figurent dans une case et DEUX entiers ne figurent pas dans la même case .

A vouloir être trop rigoureux , on finit par être lourd :we: , mais d'accord pour l'objection .

Imod

yos
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par yos » 14 Juin 2007, 00:28

Imod a écrit:Est-il possible de remplir chaque case avec tous les entiers naturels non nuls ( 0;1;2;... )

Si on considère comme tu le fais que 0 est non nul, je pense que la réponse à la question est non.

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par Imod » 14 Juin 2007, 00:36



Vous êtes un peu lourd les mecs , j'ai rédigé le sujet en "direct-live" pour répondre à notre écolier surdoué et frustré .

Imod

yos
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par yos » 14 Juin 2007, 00:42

Bon je fais un effort (bien que je ne m'appelle pas Foussa mais comme il ne donne plus de nouvelles...) :
On place l'entier 1 au centre de l'échiquier (c'est-à-dire n'importe où) et on lui met les voisins 2,3,4,5.
On met comme voisins à l'entier 2 les entiers 6,7,8 (en plus de 1).
Si 1 et 8 sont les voisins de 3, on lui ajoute 9 et 12 (on casera 10 et 11 dés qu'on pourra)
Et on continue ainsi.
Je vois pas de raison pour que ça foire, et je suis pas sur que ça marche. Dans ce genre d'exo, ma philosophie est : trouvons une raison pour que ce soit impossible (ça évite les essais pitoyables comme ci-dessus) et si j'en ai pas trouvé après 6 ans je me dis que c'est pt'êt possible.

fahr451
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par fahr451 » 14 Juin 2007, 00:44

heu

ce que j 'en disais c'est que j 'ai vraiment cru en lisant on mettait tous les entiers sur chaque case ensuite je m'attendais à un truc tordu la suite étant simple j 'ai du relire

nulle offense de ma part

Imod
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par Imod » 14 Juin 2007, 00:57

yos doit revoir sa copie ,

le sujet manque certainement de clarté mais la réponse proposée n'est pas la bonne , à revoir :zen:

Imod

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par Imod » 15 Juin 2007, 19:25

yos a écrit:si je n'ai pas trouvé après 6 ans je me dis que c'est pt'êt possible.

Pour ceux qui ne veulent pas attendre .

Image

On part en effet d'une case quelconque et on parcourt les cases comme indiqué sur le dessin en remplissant chaque case avec le plus petit entier possible , c'est à dire pas encore utilisé et de façon à ce que la somme convienne si la case est le quatrième voisin d'une case déjà remplie . Ce procédé ne pose pas de problème car à aucun moment une case que l'on remplit ne peut être la quatrième voisine de deux cases distinctes ( je ne suis pas sûr d'être très clair ) . Le seul problème qu'il reste est de savoir si tous les entiers positifs vont être déposés avec cette stratégie . On suppose par l'absurde que certains entiers ne trouvent pas leur place dans l'échiquier alors il en existe un plus petit : m ( supérieur à 1 ) . Les cases en haut à droite dans la spirale ne sont pas les quatrièmes voisines de cases déjà remplies . Il suffit alors de considérer la première case supérieure droite suivant celle qui contient m-1 et y déposer m : contradiction .

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par Imod » 15 Juin 2007, 21:42

Rain' a écrit:Toujours aussi jolis tes problèmes Imod. :++:


Merci Rain , il n'y a pas de mystère , ces problèmes sont ceux qui me plaisent et si je peux faire partager mon entousiasme , c'est encore mieux !!! Si de temps à autre je pouvais aussi modérer mes ardeurs ce ne serait mieux pour tout le monde :marteau:

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