Défi pendant les vacances de Noël

[Flashtag]

Bonjour tout le monde mon prof de maths nous a donné le problème suivant pour les vacances :

N est un nombre entier naturel non nul écrit en base 10. Conformément à l'usage, le premier chiffre de N ne peut pas être un 0. Les assertions suivantes se réfèrent au nombre N et à son écriture en chiffres, avec la règle suivante: si une assertion est vraie, son numéro apparaît comme chiffre de N. Sinon, il n'y apparaît pas.

(0) La somme des chiffres du nombre est un nombre premier.

(1) Tous les chiffres du nombre sont impairs.

(2) Chacun des chiffres du nombre est strictement inférieur au chiffre suivant.

(3) Les chiffres du nombres sont tous différents.

(4) Tous les chiffres du nombre sont inférieurs ou égaux à 4.

(5) Il y a au plus 5 chiffres dans le nombre.

(6) Le produit des chiffres du nombre n'est pas divisible par 6.

(7) Le nombre est pair.

(8) On ne peut pas trouver deux entiers consécutifs parmi les chiffres du nombre.

(9) L'un des chiffres du nombre est égal à la somme de deux autres chiffres du nombre (les trois chiffres en question doivent être des chiffres en positions distinctes du nombre. Précisément, un même chiffre peut être compté deux fois, mais il faut alors qu'il apparaisse deux fois dans le nombre).

Il s'agit de trouver N, et de montrer qu'il est unique.
Auriez-vous une idée ? Merci

[lyceen95]

Il y a une des propositions qui est """facile""" à exploiter, et qui donne un résultat tangible.
D'après toi, laquelle ?
Cette proposition donne un résultat tangible, mais la suite n'est pas évidente du tout.

Pour l'instant, après 10 ou 15 minutes de réflexion, la seule piste que je vois, c'est de programmer un truc qui va explorer toutes les combinaisons, jusqu'à trouver une solution.
Restera encore à prouver que cette solution est unique !

[chadok]

Effectivement, au vu du nombre de conditions à remplir, à part programmer...
Pour limiter ce travail, peut-être pourrait-on ne programmer que les conditions les plus "sévères", pour générer une première liste assez courte de nombres, et finir le travail " manuellement" ?
Déjà, entre
(1) : "Tous les chiffres du nombre sont impairs "
et (7) : "Le nombre est pair"
il n'y a pas un gros malaise ?

[lyceen95]

Ce n'est pas un malaise, c'est juste que les 2 conditions ne peuvent pas être vraies en même temps. Et donc on ne peut pas avoir à la fois un 1 et un 7 dans le nombre.

[GaBuZoMeu]

Il en est de même de 1 et 9.

En fait, on ne peut pas avoir de 1 à cause du 8.

[lyceen95]

J'aurais dit : on ne peut pas avoir de 1 à cause du (6).

En testant par programme, je trouve effectivement une seule réponse entre 1 et 99999999.
Je ne la donne pas, pour laisser chercher un peu.

[GaBuZoMeu]

J'aurais dit : on ne peut pas avoir de 1 à cause du (6).

C'est vrai aussi, mais je maintiens que (8) empêche (1). Tu n'es pas d'accord, lycéen95 ?

(6) ne peut pas arriver. Le produit des chiffres est donc divisible par 6.

S'il y a (2), alors 2 est le premier chiffre et il y a (3) ; il n'y a donc pas (8) ...

Bon, j'arrête là pour le moment.

[lyceen95]

Exact : en combinant les règles (8) et (1), on arrive aussi à la conclusion qu'il n'y a pas de 1 dans la solution.

[Flashtag]

En faisant des test je vois que les chiffres ne peuvent être impaire sinon (1) est en contradiction avec (8) donc j’ai commencé avec l’hypothèse (7) couplé avec (2) ou (3) qui ne marchent pas et n’aboutissent pas alors on peut conjecturer que le nombre est impair? Qu’en pensez vous?

[GaBuZoMeu]

Quel raisonnement fais-tu ? Difficile de donner un accord sur un raisonnement que tu n'explicites pas.

[Flashtag]

Supposon (7) et (2) vraie alors (3) et (9) sont vraie en supposant (5) est vraie or si N contient ces chiffres alors les autres propriétés sont fausses on trouve 97532 qui marche vous êtes d’accord?

[GaBuZoMeu]

Non pas d'accord : s'il y a 2, les chiffres devraient être dans l'ordre strictement croissant or ils sont dans l'ordre décroissant.

[lyceen95]

C'est marrant, j'ai fait le programme qui teste tous les nombres (jusqu'à 200 Millions) ; J'ai donc la réponse ( mais sans preuve qu'il n'y a pas de réponse au delà de 200 Millions).
Et pour le fun, j'ai fait tourner cette après midi ce programme sans la contrainte 2, pour voir. Coincidence, puisque j'ai effectivement vu cette valeur de 97532 s'afficher. C'était la plus grande de toute une série de réponses valides aussi, toutes celles obtenues en permutant les 4 premiers chiffres (35792 35972 etc etc )

[Flashtag]

Ah d’accord j’avais compris dans l’autre sens le (2) donc le nombre serait plutot 23579 et donc l’hypothese (7) et (2) ne peuvent pas fonctionner avec (5) on va réessayer alors !

[Flashtag]

C‘est interessant ce que tu dis lycéen95 sans l’hypothèse (2) on a plus l’unicitéest ce que c’est vrai quelque soit l’hypothèse que l’on enlève ?

[lyceen95]

Je n'ai fait l'expérience qu'avec la règle (2) en moins. Mais j'imagine que le résultat serait similaire pour n'importe quelle autre règle.

[Flashtag]

en supposant (7) (3) et (5) vraie si on suppose que (6) est vraie alors (9) est vraie les autres sont alors toutes incompatibles je trouve que 35976 53976 95376 mais ca signifierait que (2) soit vérifié donc ca ne marhce pas l’hypothèse (7) (3) et (5) sont incompatibles

[Flashtag]

23569 convient nn?

[lyceen95]

Non, relis la règle n°6.

[Flashtag]

Ah j’ai fais une erreur de calcul de tête...