Défi 2: Diamètre et recouvrement

[ffback]

Salut
Voici mon deuxieme exo défi:

Enoncé: Soit un espace métrique connexe. Soit une famille dénombrable de sous_ensembles recouvrant , c'est à dire . Montrer que .

Enjoy
PS: Tous mes exos ne sont pas de topologie. C'est juste une coincidence

[aviateur]

Bonjour
Je suis curieux de voir la démo. En effet le résultat semble vrai et relativement facile à établir si par exemple E connexe par arcs. Maintenant si E n'est pas connexe par arcs, je n'aboutis pas...

[Ben314]

Salut,
Soit (qu'on suppose )
1) On commence par se ramener au cas d'un recouvrement d'ouverts :

.
2) On considère la relation suivante : Deux éléments sont dit "joignables" s'il existe une suite finie d'entier tels que .
2.1) Dans ce cas, on a où la deuxième inégalité est valable à coup sûr lorsque les sont distincts, mais, quitte à raccourcir la suite, on peut toujours se ramener à ce cas là.
2.2) La relation en question est clairement une relation d'équivalence (la réflexivité provenant du fait que les recouvrent ) et, comme les sont ouverts, les classes d'équivalence pour cette relation sont ouvertes donc elles sont aussi fermées vu qu'une classe c'est le complémentaire de la réunion de toutes les autres. Comme est connexe, il y a donc une seule classe ce qui signifie que deux éléments quelconques sont toujours joignables donc tels que .
Ceci étant vrai pour tout , c'est que et donc .

[ffback]

Super

Je me doutais qu'il y avait une preuve basée sur cette idée intuitive d'accessibilité, mais je ne l'avais formalisé que dans le cas où le nombre d'ensembles Xi est fini. (mon erreur fût de me ramener au cas ou les Xi sont fermés. Xi ouvert, ca marche mieux)

[ffback]

Ma preuve (du cas général):

Cas 1: on traite dans un premier temps le cas où , donc par connexité est un intervalle. De plus chaque est inclu dans un intervalle de même diamètre (). Ainsi on est ramené à prouver: . Ceci est classique à prouver, le plus expéditif étant d'utiliser la mesure de Lebesgue.

Cas 2: on traite maintenant le cas général. Si est une fonction continue, le cas 1 appliqué à donne . En particulier si est 1-Lipshitzienne, et on déduit que pour tout dans , |. Pour fixé, on choisit la fonction 1-Lipschitzienne , ce qui donne , et on conclut.

[aviateur]

Bonjour
@ben Ok mais la difficulté que je trouve est justement "on se ramène à un recouvrement d'ouverts."
Les recouvrent l'espace métrique (E,d) . Les fermetures des recouvrent aussi
X et les diamètres étant conservés, on peut se ramener sans pb a un recouvrement de fermés mais malheureusement et c'est là que je n'ai pas abouti.
Evidemment j'aurai préféré un recouvrement d'ouverts. Mais alors comment fais- tu pour te ramener un recouvrement d'ouverts? Car je ne vois pas.

[Ben314]

Ben le recouvrement d'ouvert, il est décrit dans la preuve ci dessus qui explique comment, partant du recouvrement (X_k), on construit le recouvrement d'ouverts (Y_k) : c'est bien des ouverts vu que c'est des réunion (éventuellement "très infinies") de boules ouvertes.

Ou alors il y a un truc qui t’échappe dans la preuve en question ?

[aviateur]

Ok, pas de pb. Je n'avais pas lu et je comprends bien que ta démo explique justement comment tu t'es ramené au recouvrement d'ouvert.
C'est un peu idiot de ma part de n'avoir pas penser à prendre les intérieurs et d'ajouter une petit quelque chose pour avoir le recouvrement d'ouvert tant espéré.