Défi collège 1 : Boîtes et contrainte spatiale

[Kikoo <3 Bieber]

Bonjour à tous !

Je destine ce topic à d'éventuels collégiens intéressés par des défis en tout genre. Bien entendu, tout le monde peut y répondre, à condition de blankoter la solution pour ne pas géner le plaisir de chacun.

Ce topic se scinde en deux problèmes, le premier exo est inventé par moi, d'un niveau assez simple et le deuxième extrait du CG 2011, qui ne nécessite cependant que des notions vues au collège, ainsi que de l'astuce.
Les réponses doivent être accessibles à un niveau bac-4/5.


I) Une boîte de crayons sous un plafond bas.

Fulgence souhaite installer une boîte cylindrique ouverte sous l'armoire qui se situe au-dessus de son bureau, afin d'y ranger des crayons de couleur.
Nous représentons cette situation par le schéma 2D que voilà :

Il est confronté à un problème : Comment choisir la longueur d des crayons qu'il peut ranger s'il veut que ceux-ci touchent le fond (en rouge) de la boîte dont le diamètre vaut l ?
Aidez Fulgence à trouver les crayons qui conviennent.



II) C'est dans la boîte !


Quelles valeurs de a conviennent ?

[Kikoo <3 Bieber]

Non, finalement le deuxième n'est pas faisable par des collègiens, que j'invite tout de même à s'y frotter. On ne sait jamais ;)

Edit : en fait si, il est faisable à un niveau 3ème-4ème ^^ Je vais y arriver !

[Stephanelam]

Non, finalement le deuxième n'est pas faisable par des collègiens, que j'invite tout de même à s'y frotter. On ne sait jamais

Edit : en fait si, il est faisable à un niveau 3ème-4ème ^^ Je vais y arriver !

Le 1, je dois dire, est assez bizarre.

Le 2 il est bof faisable en niveau collège, il me semble que c'est un exo du CG 2011 ou 2010, en gros, faut faire du Pythagore, poser une fonction, dériver, rechercher son minimum.

:happy3:

EDIT : ah, pardon, j'avais pas lu ton message entièrement.

[Kikoo <3 Bieber]

Non Stephane, il est soluble sans passer par les artifices de première, mais j'ai dû chercher pour trouver cette façon fort simple de faire ! Un seul théorème suffit, faut-il encore voir là où l'appliquer ;)

Et pour le premier, cela m'étonne que tu ne trouves pas ! Il faut exprimer le résultat avec toutes les grandeurs proposées.

[beagle]

Non Stephane, il est soluble sans passer par les artifices de première, mais j'ai dû chercher pour trouver cette façon fort simple de faire ! Un seul théorème suffit, faut-il encore voir là où l'appliquer

Et pour le premier, cela m'étonne que tu ne trouves pas ! Il faut exprimer le résultat avec toutes les grandeurs proposées.

Pour le 2)
un collégien peut déterminer la valeur de a avec des explications un peu bricolées de la justification que c'est bien le a max, et ce bidouillage revient à minimiser la fonction, mais géométriquement.
La partie calcul est accessible niveau quatrième.
En attendant ta démonstration.

[Kikoo <3 Bieber]

Pour le 2)
un collégien peut déterminer la valeur de a avec des explications un peu bricolées de la justification que c'est bien le a max, et ce bidouillage revient à minimiser la fonction, mais géométriquement.
La partie calcul est accessible niveau quatrième.
En attendant ta démonstration.

lorsque a est maximum, les points A, B, C et D se trouvent respectivement en (EH), (EF), (FG) et (GH). De là, on utilise Thalès dans le grand triangle EFH...

[beagle]

Pas fait avec ça, mais j'attends de voir les résultats, et les détails qui vont avec.

[Kikoo <3 Bieber]

Soit x=EF-BF
Soit y=EH-AH

On voit clairement que (5-x)/5 = (6-y)/6 = 7/(;)(5²+6²)) = 7/;)61
Ainsi y = 6(1-(7/;)61)) et de la même manière x = 5(1-(7/;)61))
Or a² x²+y²
Donc on trouve a 61 - 7 0,81

Edit : gros abus de language à la fin, je dirais même grave faute : a n'est pas plus petit ou égal à (x²+y²) mais vaut cette expression. Ce que je voulais dire est le fait que a varie de 0 à cette valeur.

[Imod]

Soit x=EF-BF Soit y=EH-AH

On voit clairement que (5-x)/5 = (6-y)/6 = 7/(;)(5²+6²)) = 7/;)61

Es-tu certain de tes relations?

Imod

[Dlzlogic]

Moi, je suis jaloux, j'ai pas d'équation du second degré. :cry:
Par contre, j'ai pas compris le premier.

[Kikoo <3 Bieber]

Es-tu certain de tes relations?

Imod

Oui, je crois pouvoir dire qu'elle sont justes, quand a est maximum.

Dlzlogic : pour la première, c'est aussi une question d'extrêmum pour la longueur d. En gros, la contrainte, c'est le plafond bas. Les grandeurs h, H et l sont ainsi constantes. Et on se demande comment faire pour maximiser d tout en sachant que le crayon doit impérativement toucher le fond de la boîte.
Essaie de prendre une boîte cylindrique ouverte, de fixer un seuil au-dessus de l'ouverture, et de placer des stylos à l'intérieur. Tu dois glisser le stylo de manière oblique par rapport à cette ouverture afin d'y arriver, et ce à cause du "plafond bas" qui représente un certain obstacle.

[Imod]

Oui, je crois pouvoir dire qu'elle sont justes, quand a est maximum.

Donc tu devrais pouvoir les justifier :lol3:

Imod

[Dlzlogic]

Oui, si on arrive à rentrer le crayon dans la boite, alors, par gravité, il va forcément toucher le fond. Donc la contrainte, c'est H-h. mais ça me parait moins facile que le 2)
Probablement demain.

[Kikoo <3 Bieber]

Donc tu devrais pouvoir les justifier :lol3:

Imod

Hmmm... par Thalès dans EFH, comme (AB) et (FH) sont parallèles.

[Kikoo <3 Bieber]

Oui, si on arrive à rentrer le crayon dans la boite, alors, par gravité, il va forcément toucher le fond. Donc la contrainte, c'est H-h. mais ça me parait moins facile que le 2)
Probablement demain.

Avec un dessin, on voit que ce n'est pas le cas de tous les stylos ! A partir d'une certaine longueur d, on constate que le stylo touche la boîte en deux points : le bord de l'ouverture et la partie circulaire qui délimite le cylindre, et non pas le fond.

[Kikoo <3 Bieber]

Imod, je retire, j'ai enfin vu ce que tu voulais me faire dire :)

Je vais devoir me contenter de la technique lycée... et dire que j'y croyais à Thalès !! :euh:

[Stephanelam]

Et pour le premier, cela m'étonne que tu ne trouves pas ! Il faut exprimer le résultat avec toutes les grandeurs proposées.

J'ai pas dit que je trouvais pas, vu que j'ai pas cherché. Je dis juste qu'à première vue, je trouve l'énoncé assez étrange.

:happy3:

[acoustica]

Euh... C'est moi qui débloque et n'ai pas compris le sujet, ou bien réellement ils ont baissé de dix crans en dessous le niveau du CG ? Parce que le premier exercice, je ne vois pas vraiment comment il a pu arriver dans un sujet de CG. Si on compare avec des sujets comme celui de 2002, 2004 ou 2006, qui étaient de très beaux sujets....

[Dlzlogic]

Bonjour,
Je trouve d=racine(5h² + 2h +1)
Mais je suis vraiment pas sûr de moi.

[Kikoo <3 Bieber]

Salut Pierre

Je ne vois pas comment tu peux trouver de tels coefficients ^^
La réponse est d=|H|\sqrt{1+(l/h)²} et on y arrive via Pythagore et Thalès