Décomposition d'une fraction

[nodgim]

Bonjour à tous.
4/409 peut il être décomposé en la somme de 3 inverses d'entiers 1/a+1/b+1/c ?

Bonne recherche

[Finrod]

409 est premier donc ça ne peut pas marcher.

[nodgim]

Hum, hum....je pourrais trouver bien d'autres nombres premiers qui donnent au moins une solution.

[Finrod]

Oui j'ai écris un truc à l'envers. abc doit être un multiple de 409 et non pas le diviser, dsl.

[Finrod]

C'est une équation diophantienne. Je vois plusieurs cas.

Pour chaque dénominateur a,b,c, soit 409 est un diviseur auquel cas, par ex

Soit 409 n'est pas un diviseur et par ex

Donc en gros la question, c'est, en sommant 3 termes de la forme 1/k ou de la forme 409/h pour des entiers k,h, peut-on faire 4 ?

Déjà, si les trois termes sont de la forme 1/k, c'est impossible, on fait 3 max.

Si j'en ai deux de la forme 1/k, j'obtiens que l'entier du terme en 409/k s'écrit comme un quotient de 409 par 4- 1/k1-1/k2

Ce qui donne 409k1k2 = k(4k1k2-k1-k2).

Si 409 divise k, alors 409/k est de la forme 1/k' et on revient au cas précédant.

Donc 409 divise 4k1k2-k1-k2 et après...

EDIT : Je sais qu'il y a eu une équation diophantienne proche de celle-ci récemment mais je ne l'ai pas retrouvé. N'ayant jamais fait de théorie des nombres, je sèche.

[Ben314]

Z/pZ (p premier) est un corps et 4k1k2-k1-k2 est le début de la factorisation 4(k1-?)(k2-?)...

[Finrod]

On a 4k1k2-k1-k2 = 4(k1-1/4)(k2-1/4)-1/4 = (1/4) * [(4k1-1)(4k2-1)-1]

Donc 409 divise [(4k1-1)(4k2-1)-1] et (4k1-1)(4k2-1) vaut 1 dans Z/pZ

Après, je vais essayer de réfléchir.

[nodgim]

Si 4/409 c'est trop compliqué, on peut aussi chercher 4/1261.