Décomposition d'un nombre entier en facteurs premiers

[coinroad]

Bonjour à tous,

Ma question concerne la décomposition des nombres entiers ne comprenant que deux facteurs premiers.

Comme vous le savez les méthodes de factorisation sont basées essentiellement sur des divisions à répétition qui deviennent réellement problématiques quand on cherche à décomposer des grands nombres.

Le problème de ces approches force brute est qu'elles sont tributaires du hasard et qu'elles ne résistent pas à la complexité exponentielle des nombres qui dépassent 60 chiffres. Même avec des approches de cribles améliorées on reste dans des approches extrêmement lourdes et peu performantes.

Je me suis donc mis en tête de découvrir une autre méthode qui ne serait basée que sur le calcul.

Aujourd'hui je suis convaincu que ce n'est pas la taille des nombres qui importe mais l'écart entre les facteurs premiers. Comme preuve de ce que j'avance, j'ai découvert récemment que la racine carrée du nombre entier à factoriser est toujours la moyenne géométrique de ses deux facteurs premiers. Cela est vrai pour tous les nombres. Et lorsqu'on fait le rapport entre le plus grand facteur premier et le plus petit facteur premier du nombre entier, on aboutit toujours à une équation qui ressemble à ceci :

Mg = √N
Pf1 / Mg = Mg / Pf2

D'où l'on peut déduire que :

Pf1 / Pf2 = R
Mg*R = Pf1 et Mg/ R = Pf2.

Dans lequel N est le nombre entier à factoriser, Mg est la moyenne géométrique égale à √N, Pf1 est le plus grand facteur premier, Pf2 est le plus petit facteur premier, et R le ratio issu du rapport entre le plus grand facteur premier et le plus petit facteur premier.

Vous pouvez essayer avec n'importe quel nombre. Par exemple 18751 qui a pour facteurs premiers 17 et 1103 a pour moyenne géométrique √ 18751 cad 136,9342908, et ses facteurs premiers se calculent aisément quand on dispose du ratio : 1103 = √18551 * 8,054958283 et 17 = √18551 / 8,054958283. Le ratio est égal à l'écart entre les deux facteurs premiers 1103 / 17 = 64,88235294 et on utilise la racine carrée de ce ratio pour calculer la valeur des deux facteurs premiers par rapport à la moyenne géométrique de N.

Mon problème aujourd'hui est que je n'arrive pas à trouver une méthode qui permettrait de calculer ce ratio en ne disposant que de la valeur du nombre entier à factoriser, c'est à dire N. J'ai beau chercher et retourner le problème dans tous les sens je ne trouve aucun indice ni aucune piste qui permettrait d'accéder à ce fameux ratio. Celui-ci semble incommensurable aux valeurs de N car ne dépendant que de l'écart entre ses facteurs. Mais il est pourtant bien relié à la racine carrée de N grâce à laquelle il fournit la valeur des deux facteurs premier. Je vois donc dans ce ratio la porte qui ouvre à toute factorisation des nombres entiers.

Comme je sais que ce site est fréquenté par des forts en maths et des forts en thèmes qui aiment se confronter à des problèmes difficiles à résoudre, et comme je sais également que souvent ce qui paraît difficile à certains peut sembler très facile pour d'autres, je m'en remets à l'intelligence collective pour m'aider à solutionner ce problème. Ce faisant vous ferez oeuvre utile et contribuerez à résoudre une question importante pour des pans entiers de la recherche en mathématique et en astrophysique.

En vous remerciant,

Coinroad

[lyceen95]

Tu as '''découvert''' que la racine carrée du nombre entier à factoriser est toujours la moyenne géométrique de ses deux facteurs premiers.

Si , et étant 2 nombres quelconques ( entiers ou non, entiers premiers ou non... , mais on va quand même se restreindre aux cas où p et q sont positifs), alors .
Donc en gros, tu as découvert que si 2 nombres et sont égaux, alors
Et grace à cette découverte, on pourrait résoudre une question importante pour des pans entiers de la recherche en mathématique et en astrophysique ?

[coinroad]

Non ce n'est pas ça du tout lycéen 95 et c'est dommage que tu m'écrives sur ce ton dédaigneux alors que tu ne sais même pas lire ce qui est écrit. Ce que j'ai écrit c'est que √N est toujours dans un rapport de proportionnalité avec les deux facteurs premiers de N, donc P et Q, et pas √P ni √Q comme tu l'écris.

La question n'a donc rien à voir avec √N = √PQ, mais se fonde sur l'observation que P et Q se situent toujours à une distance proportionnelle égale autour de √N ce qui peut faciliter éventuellement leur évaluation.

Je trouve ce rapport de proportionnalité intéressant quand on sait que l'une des principales difficultés de la factorisation c'est précisément l'inégalité des facteurs premiers et leur écart difficilement évaluable sans cette information. Si maintenant que tu as compris ce que j'écris tu as des solutions à nous apporter pour calculer le ratio de √N sans connaître au préalable les facteurs premiers surtout n'hésite pas !

[lyceen95]

Soit un réel quelconque , positif.
Soient et 2 réels positifs, tels que .
On supposera .
Et on va calculer :
= = = =
Donc cette belle propriété, , elle est vraie dès que .
Et elle reste vraie si p et q sont 2 nombres premiers.

C'est plus clair maintenant ? Tu as découvert un truc que certains lycéens ont démontré dans des exercices d'application.
Est-ce que cette découverte va révolutionner la science ? non.

J'emploie ce ton, parce que les 2 autres discussions que tu as postées sont du même niveau que celles-ci.

6 équations... qui sont en fait 2 équations ( parce que comme ici, tu n'as pas vu les simplifications qui existent)
Puis une demande sur une fonction... GBZM t'a demandé de mieux formuler ta question, et tu n'as pas eu la politesse de lui répondre.
Et une nouvelle discussion, sur le même sujet... et tout aussi ridicule.

[lyceen95]

En relisant, je vois que j'ai vraiment compliqué les choses... le calcul est beaucoup plus simple que celui que j'ai proposé.

On divise à droite et à gauche par ... et on a le résultat voulu.

[coinroad]

Bonjour Lyceen95,

Tu es bien gentil de venir m'expliquer que P/√N=√N/ Q mais :

Mais la question posée dans mon post est la suivante :

Mon problème aujourd'hui est.... de trouver une méthode qui permettrait de calculer ce ratio en ne disposant que de la valeur du nombre entier à factoriser, c'est à dire N.

Donc oui j'estime que arriver à calculer ce ratio sans disposer préalablement de l'information sur les facteurs premiers est une question difficile.

Venir me répondre que tu sais calculer le ratio quand tu disposes de la valeur des deux facteurs premiers ? Ah ah ah mais c'est une plaisanterie j'espère ?

[GaBuZoMeu]

Bonjour coinroad,

Tu prends de haut les remarques qu'on te fait, mais en quoi fais-tu avancer les choses ? Tu fais la remarque triviale que quand N est produit de deux facteurs, la moyenne géométrique de ces deux facteurs est la racine carrée de N. Oui, et alors ? Ça n'avance vraiment à rien.