Un curieux dialogue

[mathelot]

Soient deux nombres entiers distincts compris entre 2 et 99 au sens large.

On communique à Pierre le produit de ces deux nombres. On communique à
Stéphane la somme de ces deux nombres.
S'en suit le dialogue suivant :

P : Je ne connais pas ces deux nombres.
S : Je sais. Moi non plus je ne les connais pas.
P : Maintenant je les connais.
S : Maintenant moi aussi je les connais.

Quels sont les deux nombres en question ?

[rene38]

Bonsoir

Soient deux nombres entiers distincts compris entre 2 et 99 au sens large.

Pierre et Stéphane ont-ils cette information ?

[Amine.MASS]

salut,
qu'est ce que tu veux dire par " au sens large"?

[BancH]

Peut-être que Pierre dans sa première réplique, donne le premier chiffre du nombre qui lui a été communiqué, avec le nombre de sylabbes dans sa phrase je pense, puis Stéphane fait pareil, mais Pierre connaît alors le nombre de Stéphane, cela veut dire que Stéphane lui aurait donné deux chiffre, et byzarement, la première réplique de Stéphane est composé de deux phrases, donc deux chiffres.
Pierre donne alors sont second chiffre, et la dernière phrase n'est pas codée puisque c'est un indice qui permet de savoir que Pierre donne le second chiffre de son nombre dans sa seconde réplique.

Je ne connais pas ces deux nombres. => 8 sylabbes.
Maintenant je les connais. => 7 sylabbes.

Le nombre de pierre est 87.

Et de même, on trouve le nombre de Stéphane, 29.
On a x et y les deux nombres d'origine que l'on recherche, on a le système d'équations suivant:




Avec , et , la décomposition de 87 en facteur de produits premiers est:

Mais

Donc j'ai tout faux...

Ah non!

Peut-être que le mot "nombres" compte pour deux sylabbes (bien que le "e" en fin de phrase rende la sylabbe muette - -)

Donc les nombres seraient 97 et 29.

La décomposition de 97 en produit de facteurs premiers est: ... :ptdr:

J'ai une autre idée, Pierre commence par le chiffre des unités et non celui des dizaines, mais Stéphane commence bien par le chiffre des dizaines car il donne les deux chiffres dans la même réplique.

Le nombre de Pierre serait 78, et celui de Stéphane 29.
La décomposition de 78 en produit de facteurs premiers est: 2x3x13

On remarque 13x2+3=29 !

Les deux nombres sont 26 et 3!

[mathelot]

Banch, tu ne brules pas, tu glaces.

Amine, une inégalité "au sens large" veut dire une relation "inférieur ou égal" et non une relation "strictement inférieure"

[BancH]

Banch, tu ne brules pas, tu glaces.

Lol, dans ce cas je ne vois pas comment trouver la solution.

[mathelot]

euh,rené,je vais réfléchir finalement.

[mln]

En faisant quelques tests (vive l'ordi), on trouve 4 et 13.
Avec les conditions:
-Puisque Pierre ne peut pas trouver alors le produit à alors au moins 3 diviseurs
-Comme Stéphane sait qu'il ne peut pas trouver alors S ne s'écrit en une somme de 2 nombres premiers.
-Comme Pierre sait que Stéphane savait qu'il n'avait pas trouvé, les sommes imaginables qui peuvent s'exprimer comme une somme de 2 nombres premiers
et comme il conclut à sa deuxième phrase, il trouve qu'il y a qu'une possibilté.
-Stéphane n'a imaginé qu'un produit qui aurait permis à Pierre de conclure directement.

[BancH]

En faisant quelques test (vive l'ordi), on trouve 4 et 13.

Sans tests, c'est beaucoup plus dûr.

[mathelot]

bien joué min.

[mln]

Sans tests, c'est beaucoup plus dûr.

effectivement : à la main la démo doit etre très longue et calculatoire, de toute facon je pense qu'il faut forcément tester à un moment :
Pour restrindre les possibilités :
- le Produit n'est pas un une puissance de nombre premier, ni un produit de 2 nombre premier, on en déduit les produits possibles.
- La somme est impair (Goldbach) et n'est pas décomposable sous la forme p+2.
- Cette somme est inférieure à 55 (sinon Pierre aurait trouvé trouvé directement : 53 aurait été dans la décomposition et cette décomposition aurait été unique puisque les 2 nombres sont dans [2,99]).
- il reste comme somme possible : 11, 17, 23, 27, 29, 37, 41, 47, 51 et 53.
- "Le produit de pierre n'apparait qu'une fois dans ces sommes". La, je pense qu'il faut forcément tester pour réduire la liste des produits possibles : Les produits possibles sont décomposables d'une seule manière en produit de 2 nombres dont la somme est possible.
- Il faut aussi tester si Les sommes possibles sont décomposables d'une seule manière en somme de 2 nombres dont le produit est possible.

Pour aller plus loin dans les restrictions, on peut peut-etre majorer le produit (mais je n'ai pas réussi)

[aviateurpilot]

tres bien mln