Critère d'Hermite

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Ben314
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Re: Critère d'Hermite

par Ben314 » 31 Mai 2023, 16:31

Avec le peu qu'on a sur l'image :
Milany a écrit:je n'ai pas compris pourquoi ils ont vérifié ceci
A priori, pour pouvoir utiliser le fameux lemme 7.3
Milany a écrit:et à la fin d'après ce que j'ai compris comme la somme est nul donc les f(c) sont distincts pour tout c dans Fq donc f est une permutation sur Fq
Ne serait-ce pas la conclusion du lemme 7.3 ?

Bref, sans savoir ce que représentent les variables de la formules de ton image, (ni ce que dit le lemme 7.3), c'est pas bien évident de répondre . . .

EDIT :
En fait, la formule de ton image, ça correspond pas mal à ce bout là du message d'Archytas (ci dessus).
Archytas a écrit:On a en plus trivialement (iii) implique (ii) et sachant (ii) en écrivant tel que s ne divise pas p, on obtient (iii).
Et le lemme 7.3, ça pourrait éventuellement être l'équivalence (1)<=>(3) de ce même message.
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Milany
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Re: Critère d'Hermite

par Milany » 31 Mai 2023, 23:07

Voici la démonstration complète

https://postimg.cc/9RJNhsXj
Image

On a par hypothèse que p ne divise pas t donc pourquoi ils ont considérer le cas où t = s*p^j ?

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Ben314
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Re: Critère d'Hermite

par Ben314 » 31 Mai 2023, 23:32

Milany a écrit:On a par hypothèse que p ne divise pas t donc pourquoi ils ont considérer le cas où t = s*p^j ?
Ben si tu précise pas de quelle hypothése tu parle, on risque pas de confirmer ou d'infirmer.
Par ce que, justement, lorsque l'on cherche à montrer que (1) et (2) implique que f est une permutation, alors on sait (par l'hypothèse(2)) que les sommes "tartenpions" sont nulles pour t non divisible par p, sauf que pour pouvoir utiliser le (ii) => (i) du lemme 7.3, ce qu'il nous faut, c'est de savoir que ces fameuses somme sont nulles pour tout t, qu'il soit divisible par p ou pas (c'est ce qui écrit noir sur blanc dans le (ii) du lemme 7.3)
Et l'égalité du bas de la page explique que, si la somme est nulle pour les t non divisible par p, alors elle est aussi nulle pour ceux divisible par p donc que le (ii) du lemme 3 est bien vérifié.
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Milany
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Re: Critère d'Hermite

par Milany » 01 Juin 2023, 01:47

maintenant je comprends, donc pour montrer que la condition(ii) du critère implique la condition (ii) du lemme 7.3, on doit montrer que la somme de f(c)^t est nulle quelque soit t. Puisque la somme est nulle donc d'après le lemme7.3 les f(c) sont distincts, donc f c'est une permutation sur Fq, c'est ça ?

Une autre question sur la preuve du lemme7.3, pourquoi les ai sont distincts equivalent à dire que g(x) = 1,
d'après ce que j'ai compris c'est que si x= l'un des ai alors g(x)=1(à cause de l'indicatrice), donc comment on est-on arrivé à montrer que les ai sont distincts

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Ben314
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Re: Critère d'Hermite

par Ben314 » 01 Juin 2023, 11:15

Milany a écrit:Une autre question sur la preuve du lemme7.3, pourquoi les ai sont distincts equivalent à dire que g(x) = 1,
d'après ce que j'ai compris c'est que si x= l'un des ai alors g(x)=1(à cause de l'indicatrice), donc comment on est-on arrivé à montrer que les ai sont distincts

=> : Si les ai sont distincts, vu que leur nombre, c'est le cardinal de Fq, ça signifie que l'ensembles des ai, c'est exactement Fq. Donc quand tu prend la somme des indicatrices des ai appliquée à un x de Fq, c'est une somme de zéro sauf un unique terme qui vaut 1 (celui de l'indicatrice de l'unique ai qui vaut x). Donc la somme vaut 1.
<= : Réciproquement, si la somme des indicatrices est constante égale à 1, c'est que, quelque soit x dans Fq, il y a au moins une des indicatrices qui est non nulle en x (sinon une somme de zéro, ça ferait zéro) donc il y a au moins un des ai qui vaut x. Et s'il y avait plus d'un ai qui vaut x, au total il y aurait strictement plus de ai que d'éléments de Fq ce qui n'est pas le cas. Donc, quelque soit x dans Fq, il y a un unique ai égal à x et ils sont bien tous distincts.
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Milany
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Re: Critère d'Hermite

par Milany » 04 Juin 2023, 04:36

Les choses sont claires maintenant

Merci

 

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