Courbe tangente à toute droite

[Dlzlogic]

Bonjour,
Mon colimaçon [r = a + b/(théta+c)] n'est pas une fonction parce qu'on ne peut pas le mettre sous la forme y = f(x) ? Si c'est ça, la clothoïde n'est pas non plus une fonction.
J'ai raisonné de la façon suivante : aux conditions de validité près, il existe toujours un cercle C1 tangent à une droite D1, disons que le cercle est centré sur l'origine.
Soit une droite D2, infiniment proche de la droite D1, peut-on trouver une courbe tangente à D1 et D2 ?
Le cercle C2, tangent à D2 aura un rayon R2. Quelle est la courbe qui permet de passer de C1 à C2 : une courbe telle que le colimaçon.
Mais je n'ai pas été plus loin.

[Skullkid]

Avez-vous des raisons d'être partie dans cette réflexion là?

Pour ma part, je ne vois pas comment démontrer qu'elle existe à moins de la construire, et je ne vois aucun moyen de la construire, donc je préfère essayer de démontrer que c'est faux. Je n'ai pas vraiment d'arguments...

Mon colimaçon [r = a + b/(théta+c)] n'est pas une fonction parce qu'on ne peut pas le mettre sous la forme y = f(x) ? Si c'est ça, la clothoïde n'est pas non plus une fonction.

Une courbe n'est pas une fonction. Ensuite, oui, ce qu'on appelle la courbe représentative d'une fonction de R dans R c'est l'ensemble des points (x,f(x)) en coordonnées cartésiennes. La clothoïde n'est pas la courbe représentative d'une fonction de R dans R, c'est le support d'un arc paramétré.

[Dlzlogic]

Oui, j'ai compris la nuance entre fonction et courbe représentative d'une fonction.
Mais j'ai un autre argument.
Puisque l'hypothèse est "toute droite ...", à chacune des droites correspond 3 autres droites par symétrie par rapport aux axes.
Pour que cette fonction existe, il faudrait qu'elle possède aussi 2 axes de symétrie.
Par un changement de repère, cette propriété doit aussi être respectée. Ce qui est impossible.

[Nightmare]

Skullkid > Tu aimes bien m'approprier des posts qui ne m'appartiennent pas :lol3:

Toute blague à part je suis d'accord qu'a priori, pour l'existence on aura pas trop le choix que d'exhiber la fonction.

Je suis à peu près sûr que, comme pour toutes les fonctions "pathologiques", on va la construire comme limite uniforme d'une suite de fonctions, mais je n'arrive pas à trouver la bonne suite.

[Nightmare]

Dlzlogic > Je ne comprends pas pourquoi la fonction devrait admettre 2 axes de symétrie? peux-tu détailler ce point?

[Dlzlogic]

Le raisonnement est le suivant.
On peut ramener l'ensemble des droites du plan à 1/4 d'entre-elles, les autres seront obtenues par symétrie par rapport aux axes.
Imaginons qu'on trouve une fonction tangente à toutes ces droites, ou plutôt au 1/4 que l'on étudie.
A chacune des droites correspond 3 droites, par symétrie.
Or la fonction est unique, donc cette fonction admet 2 axes de symétrie, puisque 4 droites homologues par symétrie sont tangentes à la même fonction.
J'ai un peu de doutes sur l'emploi du terme "fonction" : est-ce qu'une fonction peut admettre l'axe des X comme axe de symétrie ? Si non, alors la démonstration est terminée.
Si oui, la symétrie entre 2 droites homologues existe quel que soit la direction du repère, et là c'est impossible pour une fonction.

[Skullkid]

Skullkid > Tu aimes bien m'approprier des posts qui ne m'appartiennent pas :lol3:

Désolé ! Je corrige :p

Toute blague à part je suis d'accord qu'a priori, pour l'existence on aura pas trop le choix que d'exhiber la fonction.

Je suis à peu près sûr que, comme pour toutes les fonctions "pathologiques", on va la construire comme limite uniforme d'une suite de fonctions, mais je n'arrive pas à trouver la bonne suite.

Oui je me doute bien aussi qu'il faudrait passer par une suite de fonctions, mais comme toi je ne vois pas comment construire la suite. Être tangent à toute droite c'est pas un truc qui est très facile à traduire.

J'ai pas cherché pendant quelques jours, mais en gros j'avais montré - sauf erreur - que si f est solution, alors toutes les kf, f(x-x0), f(kx) et f(x)+ax+b sont aussi solution (avec k non nul bien sûr), ce qui a l'air de laisser un peu de liberté si on cherche à construire une solution, mais ça m'a pas vraiment avancé...

[LeJeu]

Déjà une fonction dérivable qui est tangente à toutes les droites horizontales, ça doit pas être très facile à faire.

il faudrait par exemple partir de ta premiere courbe tracée et la rectifier de proche en proche pour obtenir des courbes ayant de plus en plus de "points de tangence", de sorte à obtenir à la limite une courbe vérifiant les points souhaités..)

Je suis à peu près sûr que, comme pour toutes les fonctions "pathologiques", on va la construire comme limite uniforme d'une suite de fonctions, mais je n'arrive pas à trouver la bonne suite.

Donc je rectifie ma fonction.. J'ai coupé mon arc de cercle qui allait en P1 en un arc de cercle qui va en racine(p1) , un arc d'ellipse, et un dernier arc de cercle


Ca me fait donc beaucoup plus de tangentes horizontales que précédemment ! en fait non c'est pareil ( sniff...) il a bijection avec le nombre de tangentes précédentes !

Ok mais si continue ? si on resplitte l'arc de cercle qui va en racine(p1) en un arc de cercle qui va en en P1^-3?

On construit donc une suite de fct qui est tangente en tout y rationnel ou racine enieme d'un rationnel...... si on passe la limite ?

Et là je ne sais plus .. est-ce que le nombre de tangentes horizontales de cette limite est encore dénombrable ? est ca l'on se rapproche de R ( ...... quelqu'un peut me dire ?

[nodjim]

Je reprends mon idée des droites qui tournent autour d'un pt fixe, et il me semble bien étrange de pouvoir trouver que tous les points de C sont tangents à ces droites.....

[benekire2]

Juste une question pour Night :

C'est un exo que tu as trouvé où c'est toi qui t'es posé la question ?

Merci,

[Dlzlogic]

Ma démonstration n'a pas l'air d'avoir convaincu.
Aurais-je dit des bêtises ?

[LeJeu]

Je reprends mon idée des droites qui tournent autour d'un pt fixe, et il me semble bien étrange de pouvoir trouver que tous les points de C sont tangents à ces droites.....

Si tu es d'accord, la courbe C que je proposais n'en était pas loin ? on trouve un infinité ( dénombrable ) d'angle de rotation de "ta " droite pour lesquels la droite est en tangente à C

Mais comme dit Night , ca c'est fastoche ....

[edit] il faut montrer que toutes " ces droites" sont tangentes à C en non pas que "que tous les points de C sont tangents à ces droites."

[Imod]

Je me permets de relayer la question de Benekire

C'est un exo que tu as trouvé où c'est toi qui t'es posé la question ?

Imod

[Nightmare]

C'était bien une question que je m'étais posée bêtement après avoir lu de traviole la définition de dérivable donnée dans un manuel :happy3:

[Nightmare]

@ Le Jeu > Sans parler du nombre de tangente obtenues, moi j'ai déjà un peu du mal à m'imaginer que la limite soit dérivable ailleurs qu'aux tangentes horizontales.

Tu en es sûr toi? Si oui, pourquoi?

[Dlzlogic]

@ Le Jeu > Sans parler du nombre de tangente obtenues, moi j'ai déjà un peu du mal à m'imaginer que la limite soit dérivable ailleurs qu'aux tangentes horizontales.

Tu en es sûr toi? Si oui, pourquoi?

Curieux comme expression "limite dérivable".
La dérivée d'une fonction est la limite ...
Limite dérivable, c'est donc la dérivée seconde ?

[Nightmare]

Je parle de la limite de la suite de fonction de LeJeu, qui est elle même une fonction, donc dérivable ou non.

[vincentroumezy]

Je me permets de remonter, c'est intéréssant.

[Dlzlogic]

Enoné:

Existe-t-il une fonction R->R dérivable telle que toute droite non verticale du plan soit une tangente à sa courbe?

Moi, je répond non.

[LeJeu]

Je me permets de remonter, c'est intéréssant.

@ Le Jeu > Sans parler du nombre de tangente obtenues, moi j'ai déjà un peu du mal à m'imaginer que la limite soit dérivable ailleurs qu'aux tangentes horizontales.

Tu en es sûr toi? Si oui, pourquoi?

Pardon Night , je me suis absenté ..
oui je proposerai que la limite était dérivable partout sauf aux tangentes verticales ..

Ps - Sinon : ce serait un problème si la limite n'était nulle part dérivable ? si elle est tangente à toute droite?