Courbe tangente à toute droite

[Nightmare]

Hello,

Existe-t-il une fonction R->R dérivable telle que toute droite non verticale du plan soit une tangente à sa courbe?

[Mortelune]

Si elle est dérivable elle n'admet pas de tangente verticale ?...

[Nightmare]

Il faut effectivement rajouter "non verticales" :lol3:

[Doraki]

Ben étant donné qu'en une abscisse x on ne peut avoir qu'une seule droite tangente au point (x,f(x)), il va falloir pas mal de points pour pouvoir être tangent à toutes les droites.

Déjà une fonction dérivable qui est tangente à toutes les droites horizontales, ça doit pas être très facile à faire.

[Nightmare]

Pas facile à faire, j'en conviens, cela dit ça n'empêche pas le truc d'exister.

Je n'ai pas la réponse à ma question.

Pour les questions de cardinalité, a priori ce n'est pas ici que se situe le problème car tout le monde a la puissance du continu (nombre de points du graph et nombre de droites dans le plan)

[ffpower]

Déjà par le lemme de Sard, f ne peut être C^1. Mais on se doutait bien qu'une telle fonction si elle existe ne peut pas avoir beaucoup de régularité^^

[LeJeu]

Ben étant donné qu'en une abscisse x on ne peut avoir qu'une seule droite tangente au point (x,f(x)), il va falloir pas mal de points pour pouvoir être tangent à toutes les droites.

Déjà une fonction dérivable qui est tangente à toutes les droites horizontales, ça doit pas être très facile à faire.

Bonsoir,

Je m'autorise à venir jouer dans la cours des grands...

Pour les droites horizontales, je me disais que ca ce pouvait se construire en se limitant aux droites d'ordonnées rationnelles,

On construit une courbe, succession de "petit ponts" de sommet ( à tangente horizontale) d'ordonnées rationnel suivant la suite qui permet de montrer la dénombrabilité des nombres rationnels :1/1, 2/1, 1/2, 1/3, 3/1, 4/1, 3/2, 2/3, 1/4 ...

Pour les petits ponts : prenons des demi cercles

pour la dérivabilité alternons un demi cercle au dessus l'axe des x , en demi cercle en dessous ( de même rayon)

Ensuite il me semble que la construction va marcher pour toutes les droites obliques de coefficient directeur rationnel ( sans vraiment voir quel demi cercle va intercepter la droite)

Je sais on est loin du but !

[edit] je vois bien que marche pas trop pour la dérivabilité au raccord des demis cercles.....

[LeJeu]

l'idée ce serait ça :


Pour les droites obliques : je rectifie ma position, je proposerais : ca marche pour tout coefficient directeur , mais à chaque fois pour une famille de droites espacée d'une distance rationnelle ( en gros une rotation du faisceau des droites horizontales)

[vincentroumezy]

Ou, mais comme tu dis, aux points ou la fonction s'annule, elle n'est pas dérivable.
Ca passe peut-être mieux avec des arcs de cercles qui ne sont pas des demi-cercles.

[Skullkid]

Salut, en cherchant une solution j'en suis venu à me demander si l'assertion suivante était vraie : si f est une bijection continue de A sur avec A une partie de alors A contient un intervalle non réduit à un point. Intuitivement ça m'a l'air vrai mais j'arrive pas à le montrer...

Si c'est vrai, alors je pense avoir une démo : si f est une fonction qui satisfait l'énoncé et que je pose , l'application x -> f(x)-ax est une surjection continue de dans , qu'on peut restreindre en une bijection continue de dans . Donc contient un intervalle non réduit à un point, et comme les forment une partition indénombrable de , on obtient une famille indénombrable d'intervalles disjoints de longueur non nulle, ce qui, si mes souvenirs sont bons, est absurde. Le tout aux probables erreurs de raisonnement près...

[LeJeu]

Oui, mais comme tu dis, aux points ou la fonction s'annule, elle n'est pas dérivable.
Ca passe peut-être mieux avec des arcs de cercles qui ne sont pas des demi-cercles.

Je sais, ca irait pour les droites horizontales, mais je préfère garder la courbe ainsi, même si elle n'est "pas partout" dérivable pour que, quel que soit le coefficient directeur alors on ait une infinité ( dénombrables) de droites tangentes à la courbe, denses dans le plan si je ne me trompe pas.

Nightmare tu n'as rien dit, ce n'est pas ce genre de réponse que tu attendais ? quand je lis Skullkid je me sens un peu hors sujet ...
Ceci dit j'aime bien ma courbe !

[ffpower]

Lejeu: le prob c'est qu'il y a une énorme différence entre les rationnels et les réels. Avec ta méthode, tu n'arriveras jamais qu'à obtenir qu'un nombre dénombrable de tangentes données. Pour construire une courbe répondant au problème, il faudrait par exemple partir de ta premiere courbe tracée et la rectifier de proche en proche pour obtenir des courbes ayant de plus en plus de "points de tangence", de sorte à obtenir à la limite une courbe vérifiant les points souhaités..(pas sur d'être très clair^^)

Et la courbe répondant au problème sera probablement trop compliquée pour être dessinable (comme je disais, une telle courbe ne peut être C^1)

Skull: ton assertion est fausse. L'escalier de Cantor envoie continuement le Cantor sur [0,1]

[Skullkid]

Skull: ton assertion est fausse. L'escalier de Cantor envoie continuement le Cantor sur [0,1]

Cantor, toujours lui...

Du coup je tourne en rond, je pense avoir montré que s'il existe une solution alors pour tout x0 il existe une solution f C1 en x0 telle que f'(x0) soit non nul (et donc f est strictement monotone sur un intervalle ouvert contenant x0 et f' est bornée sur cet intervalle, ce qui m'a l'air d'être un comportement trop sympathique pour être honnête, mais je vois pas comment en déduire une contradiction ou une méthode de construction).

[Nightmare]

A tous (en réponse à LeJeu) : Je suis en vacance et n'ais que mon tel port pour me connecter, j'ai bien lu vos réponses, y réfléchis et y répondrais chez moi à mon retour avec un clavier, parce que le LaTeX sur mon portable c'est l'horreur. Jusqu'à samedi, je me contente de lire le forum. @+ ! :happy3:

[Dlzlogic]

Bonjour,
J'ai l'impression qu'une courbe en coordonnée polaire de la forme r = a + b/(théta -3), autrement dit un colimaçon, ne ferait pas l'affaire. Il faudrait exclure les droites strictement horizontales et strictement verticales.
Suivant les paramètres choisis, il y a un cercle asymptote ou un point asymptote.

[benekire2]

Le problème c'est que déjà ton colimaçon c'est pas une fonction ...

C'est pas trivial comme problème :)

[nodjim]

Prenons un point du plan et servons nous en comme pivot de droite: à toute pente correspond un point de la courbe, tangent à cette droite. Donc la fonction est totalement définie à partir de ce seul point. Si on fait la même chose avec un second point peut on décrire la même courbe ? ça me parait bien difficile.

[nodjim]

Servons nous d'un point du plan comme pivot de droites: toutes les droites qui passent par ce point ont un point commun avec la courbe. L'ensemble de ces points communs peut il être continu ?

[Doraki]

Ben ouais, par exemple le graphe de la fonction x -> x^3 intersecte toutes les droites du plan.

[Nightmare]

Hello,

personnellement j'ai pas avancé. La seule chose que j'ai réussi à faire, comme Le_Jeu, c'est pour les rationnels, mais c'est un cas facile.

En fait, ce qui est le plus perturbant, c'est que je n'arrive pas du tout à intuiter l'existence ou non de cette fonction. D'ailleurs, c'est amusant de voir que Le_Jeu essaye de montrer l'existence alors que Skullkid la non existence.

Avez-vous des raisons d'être partie dans cette réflexion là?