Coupe au carré
Olympiades mathématiques, énigmes et défis
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Imod
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par Imod » 09 Juin 2009, 18:37
Bonjour :we:
Un petit exercice pour ceux qui aiment bricolage et découpages :
Comment découper un carré en cinq pièces ( polygones ) de façon à ce que l'on puisse réassembler les cinq pièces pour former exactement trois carrés de tailles différentes ?
Amusez-vous bien :zen:
Imod
par Zwergbeutelratten » 10 Juin 2009, 13:16
Ma première proposition. On coupe sur les lignes blanches. Il suffit ensuite de rassembler les parties vertes en un carré et on obtient deux carrés.
Ma seconde proposition. Cette fois, on coupe sur les lignes noires. J'ai eu la paresse de les faire blanches. Il faut ensuite assembler les parties de même couleurs en carrés.
Ma dernière proposition. Comme avant, on coupe sur les lignes noires et on assemble les parties de même couleur pour obtenir des carrés.
J'aurais une quatrième idée, mais il me semble qu'elle n'est pas possible. Il faut que j'y réfléchisse encore un peu.
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par Imod » 10 Juin 2009, 13:29
Aucune des trois propositions ne marche vu que les carrés doivent être tous les trois de tailles différentes .
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par Zwergbeutelratten » 10 Juin 2009, 14:04
Ah, je m'étais demandé si les trois tailles devaient être différentes. J'étais arrivé à la conclusion que "S'ils ne sont pas tous de la même taille, ils sont de tailles différentes."
Donc ... "(...) former trois carrés, tous de tailles différentes."
Je m'y remets :)
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par Imod » 10 Juin 2009, 16:51
Puisque la question est posée , peut-on découper un carré en cinq morceaux et constituer trois carrés de même taille avec l'ensemble des morceaux ?
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nodjim
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par nodjim » 10 Juin 2009, 18:20
Un indice sur la solution demandé: découpage en lignes parallèles aux cotés ou faut il découper en oblique ?
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par Imod » 10 Juin 2009, 18:32
A priori tout est autorisé , pour la question initiale on peut se contenter de parallèles aux côtés .
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nodjim
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par nodjim » 11 Juin 2009, 17:41
Imod a écrit:A priori tout est autorisé , pour la question initiale on peut se contenter de parallèles aux côtés .
Imod
Ok. Je réfléchissais sur le plus petit carré d'entiers répondant au critère, à savoir 7²=6²+3²+2² et je ne vois pas de solution. Y en a t il une pour celui là ?
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par Imod » 11 Juin 2009, 18:22
nodjim a écrit:Ok. Je réfléchissais sur le plus petit carré d'entiers répondant au critère, à savoir 7²=6²+3²+2² et je ne vois pas de solution. Y en a t il une pour celui là ?
Je ne crois pas
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nodjim
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par nodjim » 11 Juin 2009, 19:16
Imod a écrit:Je ne crois pas
Imod
J'abuse. Faudrait il comprendre que la solution que tu détiens est unique, et concerne un carré à dimensions entières bien définies ?
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par Imod » 11 Juin 2009, 21:41
J'espère ne pas trop en dire en révélant que l'on découpe un carré de côté entier en un carré de côté entier et deux rectangles dont l'aire est le carré d'un entier . La forme des rectangles doit être suffisamment proche de celle d'un carré pour retrouver le carré en une seule coupe . Par exemple avec un rectangle 1X7 je ne vois pas comment faire un carré avec une seule coupe .
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par adrd » 11 Juin 2009, 21:48
Salut,
Il y a 5 découpages et 3 carrés donc il y a un carré formé d'une seule pièce.
Quel est ce carré ? le grand ? le moyen ? le petit ?
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par Imod » 11 Juin 2009, 22:56
Le petit ( pourquoi ai-je l'impression qu'on me tire les vers du nez ? ) .
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par Imod » 12 Juin 2009, 23:25
Une nouvelle petite aide :zen:
Comment choisir les dimensions entières du carré rouge et des rectangles jaunes et bleus pour que l'aire de chacun soit un carré parfait : la première valeur que j'ai trouvée m'a permis de conclure .
Imod
par Zwergbeutelratten » 13 Juin 2009, 12:35
Hmm...
(surligner)
J'avais déjà essayé quelque chose comme ça (orienté autrement, mais ça revient au même). Avec ce début, je ne vois qu'une possibilité : couper verticalement la zone jaune en deux et utiliser l'un des morceaux pour compléter la zone bleue.
Le problème, c'est que si l'on essaie de représenter ça avec des équations, on voit que ça implique que deux des carrés ont la même taille.
Si A est le côté du carré rouge, et que le tout fait 1 de côté, alors ...
1-A est la hauteur de la zone jaune.
1-A est la largeur de la zone bleue.
En coupant la zone jaune de telle manière à ce qu'un des morceaux soit un carré, et que l'autre s'adapte sur la zone bleue, on obtient l'équation suivante :
2*A=1-A
On en tire que A=1/3
Ca donne :
- un carré rouge de 1/3 de côté
- un carré jaune fait 2/3 de côté,
- un carré jaune et bleu de 2/3 de côté
Et ... zut, deux carrés ont la même taille.
Avec ce début, je ne vois qu'une méthode possible : superposer.
Coupons un carré rouge de 5/12 de côté.
Il faut ensuite faire un carré jaune de 7/12 de côté.
On se retrouve avec un rectangle jaune de 5/12 x 7/12 et un rectangle bleu de 5/12x7/12
Si on met ces deux rectangles correctement, et en les superposant, on peut obtenir un carré.
C'est probablement considéré comme tricher, non ?
(/surligner)
Ou bien est-ce que je suis complètement à côté de la plaque ?
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par Imod » 13 Juin 2009, 18:59
On ne superpose pas les pièces :chaise:
Une question intermédiaire :
Comment découper un rectangle
en deux morceaux pour faire un carré ?
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nodjim
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par nodjim » 14 Juin 2009, 06:52
Bon, là tu as tout dit :ptdr:
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par Imod » 14 Juin 2009, 10:53
Une preuve par l'image au premier qui décrit les cinq pièces :we:
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par Imod » 03 Juil 2009, 19:56
Je suis tombé par hasard sur une autre solution encore plus simple . Preuve par l'image :
Imod
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