Couleur du caméléon

[fastandmaths]

Bonsoir,

Sur une île déserte vivent 34 caméléons. Au départ, 7 sont jaunes, 10 sont rouges et 17 sont verts. Lorsque deux caméléons de couleurs différentes se rencontrent, ils prennent tous deux la troisième couleur. Lorsque se rencontrent deux caméléons d'une même couleur, rien ne se passe. Au bout d'un an, tous les caméléons sont devenus de la même couleur. Laquelle?

[MMu]

Green ..

[nodgim]

Je suis d'accord, et ça n'a rien à voir avec le fait que 17 = 10 + 7.

[GaBuZoMeu]

Dans ce genre de problème, un bon réflexe est de chercher un invariant.
Ici, un invariant modulo 3 fait l'affaire.

[fastandmaths]

J'y suis allez en tâtonnant de sorte à ce que la suite des rencontres mène à une couleur.

7 rouge=) 7 jaunes il restera 31 vert et 3 rouges

1 vert=) 1rouge il restera 2 rouge et 2 jaunes et 30 verts

2 rouges=) 2 verts ...

[GaBuZoMeu]

On voit bien l'utilité d'un invariant qui permet d'éviter le tâtonnement (d'ailleurs, comment se persuader par tâtonnement qu'on arrive à la seule réponse possible ?).

[fastandmaths]

j ai eu la même réflexion sur la seule réponse mais j 'ai effectué un travail de fourmi en listant tout les constats sur un tableau , dans le seul but de m'en convaincre .
-la différence du nombre de caméléons jaune et du nombre de
caméléons rouges est toujours multiple de 3 .
-si un caméléon jaune rencontre un vert, cette différence
diminue de 3, car il y a un jaune de moins et deux rouges de plus ;
- si un rouge rencontre un vert, elle
augmente de 3.
-si un jaune rencontre un rouge, la différence reste inchangée (trivial)
-si deux de la même couleur se rencontrent , la différence ne change pas
- la différence du nombre de verts et du nombre de rouges est de la forme 3k+1,pareil pour la différence du nombre de verts et du nombre de jaunes

[GaBuZoMeu]

rouge moins jaune est invariant modulo 3; Comme c'est 0 modulo 3 au départ, c'est forcément 0 modulo 3 à l'arrivée.