Côtés entiers

Olympiades mathématiques, énigmes et défis
Imod
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par Imod » 07 Déc 2008, 20:49

nodgim a écrit:J'ai rarement vu un problème d'olympiade aussi simple.

Chaque fois que j'ai dit ça , j'avais raté l'essentiel :zen:

Imod



nodgim
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par nodgim » 07 Déc 2008, 20:51

Imod a écrit:Chaque fois que j'ai dit ça , j'avais raté l'essentiel :zen:

Imod


Pourquoi, là j'ai raté quelque chose ? :doh:

nodgim
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par nodgim » 07 Déc 2008, 20:56

Imod a écrit:Chaque fois que j'ai dit ça , j'avais raté l'essentiel :zen:

Imod


En plus, c'est un problème qui me rappelle une de tes enigmes où il était question de cheminement le long de couloirs intérieurs. ça ne te dit plus rien ?

Doraki
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par Doraki » 07 Déc 2008, 20:56

Imod a écrit:D'accord , je regarderai plus en détail tout à l'heure :we: mais dès ton premier message tu supposes que r1 et r2 sont supérieurs à 1/2 ( pour choisir ex et ey ) , il y a une raison ?

Imod


ah non, r1 et r2 sont les parties décimales des longueurs des coté n et m du rectangle, je suppose rien sur eux à part d'etre dans ]0; 1[.

Quand je choisis ex dans ]0; 1/2[ et dans ]r1-1/2; r1[, on vérifie que c'est bien possible :
r1-1/2 0 car ... r1 > 0.

Et quand on compte les points de E qui sont dans le rectangle, sur une ligne,
on a les abscisses possibles sont exactement (ex, 1/2 + ex, 2/2 + ex, ... , 2n/2 + ex).
car ex-1/2 < 0 < ex pour le début, ce qui équivaut à ex dans ]0; 1/2[
et 2n/2 + ex < n+r1 < (2n+1)/2 + ex pour la fin, ce qui équivaut à ex dans ]r1-1/2; r1[.

Donc j'ai bien choisi ces contraintes pour bien avoir un nombre impair de possibilités,
quand on compte les points de E qui sont dans le grand rectangle.

Imod
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par Imod » 07 Déc 2008, 20:56

nodgim a écrit:Pourquoi, là j'ai raté quelque chose ? :doh:

Non :briques:

Imod

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par Imod » 07 Déc 2008, 21:06

Ca a l'air correct Doraki , mais du coup c'est presque trop simple :zen:

Je vérifierai plus tard car là je fais un peu de surchauffe , sinon ce serait vraiment une belle démo sans grosse artillerie : l'idéal !!!

Imod

Imod
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par Imod » 08 Déc 2008, 00:47

Désolé Doraki mais je ne peux pas cautionner ta démo , en translatant suivant sa longueur un rectangle à longueur entière , on peut rendre impair le nombre de points à l'intérieur ( si le nombre de points dans la largeur est impair ) .

Imod

Doraki
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par Doraki » 08 Déc 2008, 01:04

Il faudrait que tu me fasses un dessin pour me convaincre mais il se fait tard là.

Imod
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par Imod » 08 Déc 2008, 01:08

Doraki a écrit:Il faudrait que tu me fasses un dessin pour me convaincre mais il se fait tard là.

D'accord :dodo:

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par Imod » 08 Déc 2008, 15:09

A tête reposée je ne vois toujours pas pourquoi un petit rectangle devrait contenir un nombre pair de points de E vu qu'à priori aucun de ses sommets n'est à coordonnées entières .

Imod

nodgim
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par nodgim » 08 Déc 2008, 20:03

Ma proposition d'hier soir n'est pas valable, ce serait trop simple. Je vais tout de même encore y réfléchir, en recherchant la solution la plus compréhensible possible.

Doraki
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par Doraki » 08 Déc 2008, 20:31

J'ai fait un joli dessin pas antialiasé :
Image
Le grand rectangle est de taille (2 et quelques) * (2 et quelques), et on a bien 5*5 = 25 (impair) points de E à l'intérieur.
Ensuite, y'a un rectangle bleu de hauteur 1, et comme je disais il a un nombre pair de points, parceque sur les segments verticaux de hauteur 1, y'aura toujours 2 points, jamais 1 ou 3.

nodgim
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par nodgim » 08 Déc 2008, 22:09

Une autre démarche totalement différente de Doraki.
Pour que le rectangle soit entièrement rempli dans la 1ère bande unité du bas, il faut nécessairement un rectangle (ou plusieurs dont le total) de largeur "reste". Sur la bande immédiatement supérieure Idem. De proche en proche, on arrive à la dernière bande en haut. Ce dernier rectangle de largeur "reste" n'atteint pas la limite supérieure du grand rectangle, puisqu'il y a un reste aussi en haut.
Maintenant, on retourne à 180 degrés le rectangle, et on fait le même raisonnement avec la première bande du bas. Mais, il y a un problème de chevauchement avec le rectangle de la construction précédente!

Imod
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par Imod » 08 Déc 2008, 23:20

Doraki a écrit:J'ai fait un joli dessin pas antialiasé ...

En effet ça marche et c'est plutôt très malin :++:

Imod

ffpower
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par ffpower » 13 Déc 2008, 02:23

La demo est en effet jolie et plus élémentaire que l autre,mais cela dit elle a le meme défaut de ne pas marcher si on remplace les "entiers" par les éléments d un autre groupe G,et je pense donc qu elle ne met pas en valeur le vrai phénomene..A mon avis faudrait plutot faire des raisonnements comme nodgim(meme le sien était foireux lol)

Doraki
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par Doraki » 13 Déc 2008, 02:44

ouais.
Après rapide survol du début du papier mentionné par Imod,
ma preuve est équivalente aux preuves n°1,2,3,4 (et peut-être 6) décrites dans le papier.

La démarche de nodgim finit par donner la preuve n°12 et fondamentalement elle dit que "si l'un des cotés est non entier alors on peut construire une preuve que l'autre coté est entier"
ce qui est plus fort (en logique intuitionniste) que le "si les 2 cotés sont non entiers alors j'ai une contradiction" de ma preuve (et des preuves n° 1,2,3,4).

Et y'a des preuves meilleures qui permettent de construire directement une preuve que l'un des coté est entier (n°7,8,9,10, et peut-être d'autres).

Le papier continue en parlant des généralisations mais j'ai pas tellement lu.

SimonB
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par SimonB » 13 Déc 2008, 03:39

Je ne sais pas si comme le pense ffpower ça reste vrai si les longueurs sont dans un sous-groupe additif, mais en tous cas, c'est vrai si au moins une des longueurs est rationnelle, ou même algébrique sur . Ce qui est satisfaisant parce que la démonstration "triche" de l'intégrale double ne marche plus :we: (ouf !)

Pour information, cet exercice a été posé il y a quelques années à l'oral de l'ENS Cachan.

ffpower
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par ffpower » 13 Déc 2008, 03:52

pour rationnel ,ca se ramene en gros aux entiers,mais t es sur que sa demo marche en algébrique?

SimonB
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par SimonB » 13 Déc 2008, 12:14

Oui. Je casse le suspense en donnant cette référence.

 

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