Coordonnées d'un point dans l'espace

[shuptuu]

Bonjour,
Je vous soumets ce petit défis:
Soit 3 points A,B et C connus, dans un repère orthonormal, de coordonnées respectives (xa;ya;za), (xb;yb;zb) et (xc;yc;zc).
Soit un point P du même repère, de coordonnée (xp;yp;zp),
Soit "da", la distance entre le point A et le point P,
Soit "db", la distance entre le point B et le point P,
Soit "dc", la distance entre le point C et le point P,
D'après le théorème donnant la distance entre 2 points de l'espace, on sait que:



3 équations, 3 inconnues, pas de problème me direz vous.
Mais qu'en est il si les inconnues sont xy, yp et zp au lieu de da, db et dc?
Autrement formulé:
Quelles sont alors les coordonnées de P (xp, yp ,zp) en fonction de da, db et dc, et des coordonnées des 3 points A,B et C??????

[GaBuZoMeu]

On a à calculer l'intersection de trois sphères (de centres A,B,C et de rayons da,db,dc respectivement). Il y a en général 0 ou 2 solutions. L'intersection de deux sphères est un cercle ou est vide, en général, et l'intersection d'un cercle et d'une sphère est deux points ou est vide, en général.
On peut discuter les cas exceptionnels (par exemple, A, B, C alignés etc.).

Calcul : notons Sa, Sb, Sc les trois équations de sphères. Sb-Sa et Sc-Sa sont en général des équations de plans qui se coupent selon une droite. On paramétrise cette droite, on rentre la paramétrisation dans l'équation Sa : ça nous fait une équation du second degré dont les racines sont les paramètres des points d'intersection des trois sphères, si ces racines veulent bien être réelles.