Sinon, que ce soit pour démontrer
et/ou pour mieux comprendre le bidule, LE truc pas con, c'est d'introduire le polynôme
qui est le polynôme interpolateur de la courbe en
et la somme dont on parle, c'est son coefficient en
.
Et on peut donc récrire la condition du (a) sous la forme "Tout polynôme de degré exactement
dont la courbe coupe au moins
fois celle de
a son coefficient dominant positif".
Par exemple :
-
croissante <=> toute droite coupant au moins deux fois la courbe a une pente
.
-
convexe <=> toute parabole coupant au moins trois fois la courbe est "dirigée vers le haut".
Ce point de vue permet de montrer trivialement
vu que, si
est lui même un polynôme de degré
son polynôme interpolateur, ça sera lui même et le coeff. en
de son polynôme interpolateur, ben ça sera son propre coeff. en
, c'est à dire 0 si
avec
et 1 si
.
Ca permet aussi d'avoir une preuve très rapide concernant l'implication dans le sens
ordre d-1 pour f' => ordre d pour f :
Si on suppose que tout polynôme Q de degré d-1 tel que Q-f'=0 ait au moins d solutions a son coeff. dominant
et que l'on considère un polynôme P de degré d tel que P-f=0 ait au moins d+1 solutions alors le th. de Rolles te dit que (P-f)'=0 a au moins d solutions et l'hypothèse te permet d'en déduire que le coeff dominant de P' (donc celui de P) est positif.