Continuité au sens de Césaro

[Ben314]

Salut,
Suite à la dernière "Kholle" de Nightmare, je vous soumet le petit problème suivant :

Rappel : On dit qu'une suite de réels tend vers le réel au sens de Césaro lorsque

Question : Quelles sont les fonctions continues au sens de Césaro, c'est à dire telle que :
Pour tout réel et toute suite convergeant au sens de Césaro vers , la suite converge au sens de Césaro vers .

[Anonyme]

Seules les fonctions linéaires sont continues au sens de Cesaro.

EDIT : Désolé, j'ai effectivement regardé ce lien sur le Net, mais je pensais que la solution proposée était bonne ! Désolé d'avoir "cassé" l'ambition de certains de résoudre ce problème. Mes excuses pour ce manque de tact et cette attitude contraire à celle du présent forum. En tout cas, l'enigme reste ouverte !

[Ben314]

Pas tout à fait...
De plus,(évidement), je veut une preuve...

EDIT :
Pour voir d'où tu sortait tes fonctions linéaires, je vient de taper sous Google "continuité au sens de Césaro" et je suis tombé sur un autre forum où la question a déjà été posée et dans la soluce, les fonctions linéaires sont évoquées (avec erreur totalement évidente...).

Si c'est ta façon de résoudre les énigmes, je trouve ça... un peu con : a part casser la baraque de ceux qui aimeraient chercher, c'est quoi l'intérêt ?

[fatal_error]

j'ai bien fait daller voir sur le lien. Du coup ca m'a calmé.

Tout ce que je voyais c'est un lien avec l'espérance mathématique d'une variable aléatoire (mais pas aléatoire pour le coup...).

Quant à prouver que ya que les linéaires qui marchent...jaurais pu y passer un temps fou sans trouver jpense... :briques:

Si c'est ta façon de résoudre les énigmes, je trouve ça... un peu con : a part casser la baraque de ceux qui aimeraient chercher, c'est quoi l'intérêt ?

Ben disons que ok ca mérite pas d'etre posté si c'est pas de soi, surtout sans liens, mais j'ai un peu le même réflexe (m'enfin pas pour les énigmes). Quant t'as un problème, ya surement un gars qui l'a déjà résolu, et mieux que toi. Donc ca sert a rien de perdre du temps. Mais c'est vrai que pour le coup d'une énigme où c'est plus un défi, c'est dommage...
Ca me rappèle un peu mes premières années de gamer ou face à un problème, on cherche, on cherche...et puis on craque : soluce. XD

[Ben314]

Ch'uis total d'accord (en particulier sur les jeux), mais sur les énigmes, c'est franchement dommage du fait que si tu ne veut en mettre que des dont, même aprés une heure de recherche sur le net tu ne trouve aucune indics, eh ben ça restreint un max le choix !!!!

Bon, enfin tant pis... :cry:

[Nightmare]

Salut :happy3:

A priori, f semble conserver les barycentres et donc être affine mais je n'ai encore rien écrit. En tout cas ce qui me semble sûr, c'est qu'il n'y en a pas beaucoup de ces fonctions.

[Doraki]

J'ai cherché sur google et j'ai juste trouvé un truc un peu différent.
Avec aucune mention de fonction linéaire ni même de fonction affine.

[Benjamin]

EDIT :
Pour voir d'où tu sortait tes fonctions linéaires, je vient de taper sous Google "continuité au sens de Césaro" et je suis tombé sur un autre forum où la question a déjà été posée et dans la soluce, les fonctions linéaires sont évoquées (avec erreur totalement évidente...).

Si c'est ta façon de résoudre les énigmes, je trouve ça... un peu con : a part casser la baraque de ceux qui aimeraient chercher, c'est quoi l'intérêt ?

Bonjour,

Pas d'accusation à vide s'il-te-plait. Tant qu'on ne sait pas ce qui a fait dire à Titux ce qu'il a dit, on ne peut rien dire.

Titux, si ça a bien été ta façon de procéder, c'est en effet un peu con et ne présente pas d'intérêt vu la nature du salon énigme.

Cordialement,
Benjamin

[Nightmare]

Pour compléter mon idée de barycentre :

Etant donné un point x du segment [a,b]. x est barycentre de a et b et on construit facilement une suite qui ne prend que les valeurs a et b qui converge au sens de Cesaro vers ce barycentre (il suffit de s'arranger pour que la fréquence d'apparition des deux valeurs dans la suite soit égale à leur poid). Alors par Cesaro-continuité, f(x) est barycentre de f(a) et f(b) affecté des même poids.

[Ben314]

Ca roule...

[Nightmare]

Promis je n'ai pas triché :lol3:

(Si, je l'avoue, j'ai été chercher la confirmation qu'une fonction qui conserve les barycentres est affine...)

[Nightmare]

Tu avais une autre preuve en tête?

[ffpower]

Je ne pense pas qu'il y ait de preuves plus rapides.. ( ni plus naturelles^^)

Sinon, l'exo reste vrai si f va d'un evn dans un evn..

[Ben314]

Perso, j'avais une preuve "un soupson" différente, mais plutôt moins rapide...

En fait au départ, je ne prenais que des suites périodiques ce qui donne la stabilité des barycentres mais uniquement à coeff entiers (=coeffs rationnels).
Ensuite, grâce à cette stabilité et au fait que toute suite convergente peut être reformulé comme de la c.v. au sens de Césaro (d'une autre suite) on montre que f est forcément continue.

[Imod]

Bonsoir à tous :we:

Et si f définie de R dans R est seulement supposée Cesaro-continue en un point ?

Imod

[Ben314]

Si je ne me suis pas gourré, on a le même résultat : f est affine.

[Imod]

En effet , mais pas très marrant à justifier :cry:

Imod

[Nightmare]

On peut supposer qu'on a Césaro-continuité en 0 et même que f est nulle en 0. Reste donc à montrer qu'elle est linéaire. En fait a priori il s'agit de construire des "bonnes" suites autour de 0 et qui y reste en moyenne. Enfin plus facile à dire qu'à faire pour trouver des trucs intéressant, mais par exemple, si l'on considère la suite , on montre déjà que f est impaire ...

[Ben314]

Il me semble qu'il suffit de "recopier" ta méthode :

Pour fixé, on pose puis, pour .
On vérifie facilement que contient fois la valeur ce qui permet de voir que, pour tout réel , la suite converge au sens de Césaro vers (ce qui était trivial dés le début) mais aussi que la suite converge au sens de Césaro vers (ce qui était légèrement moins trivial)
L'hypothése de "Césaro continuité" en implique donc que .
Pour on en déduit puis, en prenant on en déduit pour tout réel .

[Nightmare]

Ben > Ok donc f est au moins Q-linéaire, mais il faudrait prouver la continuité usuelle en 0 pour conclure qu'elle est linéaire sur R.

J'en suis arrivé au même point que toi en prenant qui converge au sens de cesaro et permet d'obtenir que f(x+y)=f(x)+f(y).